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人教A必修41
三角函数模型的简单应用(第一课时教学设计案例)
蔡淑燕
一、教材的地位与作用
本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下单独一节来学习三角函数模型的简单应用,进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想,让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力
二、教学目标分析
1、基础知识目标:①通过对三角函数模型的简单应用的学习,使学生初步学会由图象求解析式的方法;②根据解析式作出图象并研究性质;③体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程;④体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
2、能力训练目标:让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的.3、个性情感目标:让学生切身感受数学建模的过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,
教学重点:精确模型的应用——即由图象求解析式,由解析式研究图象及性质
教学难点:①分析、整理、利用信息,
从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型,并调动相关学科的知识来解决问题.
②由图象求解析式时的确定。
四、教法分析
数学是一门培养人的思维发展人的思维的重要学科,因此,在教学中,不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”,现获取知识和方法的思维过程。在课堂教学中,应该把以教师为中心转向以学生为中心,把学生自身的发展置于教育的中心位置,为学生创设宽容的课堂气氛,帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,创设丰富的教学情境,激发学生的学习动机,培养学习兴趣,充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习 学 过 程 设 计 意 图 (一)课题引入
情景展示,引入课题(多媒体显示)
同学们看过海宁潮吗?…….今天我就带大家去看一看天下奇观——海宁潮.在潮起潮落中也蕴含着数学知识.
又如大家熟悉的“物理中单摆对平衡位置的位移与时间的关系”、“交流电的电流与时间的关系”、“声音的传播”等等也都蕴含着三角函数知识。
这样的例子还有很多,比如:
二.由图象探求三角函数模型的解析式
例1.如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数.
(1)求这一天6~14时的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
解:(1)由图可知:这段时间的最大温差是;
(2)从图可以看出:从6~14是的
半个周期的图象,
∴∴
∵,∴
又∵ ∴
∴
将点代入得:,∴,
∴,取,∴。
【问题的反思】:
①一般地,所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围;
②与学生一起探索的各种求法;(这是本题的关键!也是难点!)(用最大小值点代入不容易出现错误)
③如何根据图像求解析式中的待定参数
④探究其他解法:或 等
⑤借助三角函数模型研究的思想方法研究一些较复杂的三角函数。
例2 已知函数(,)一个周期内的函数图象,如下图 所示,求函数的一个解析式。
解:由图知:函数最大值为,最小值为,又∵,∴,由图知,∴,∴,
又∵, ∴图象上最高点为
,∴,即
,可取,所以,函数
的一个解析式为.
例3 已知函数(,,)的最小值是, 图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差,且图象经过点,求这个函数的解析式。
解:由题意:, , ∴,∴,∴,又∵图象经过点,∴,即,又∵,∴,
所以,函数的解析式为.
三.应用数学知识解决实际问题
例4.例4.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮,
一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后,在落潮时返回海洋,下面是某港口
在某季节每天的时间与水深的关系表:
时刻
水深(米)
时刻
水深(米)
时刻
水深(米)
0:00
5.0
9:00
2.5
18:00
5.0
3:00
7.5
12:00
5.0
21:00
2.5
6:00
5.0
15:00
7.5
24:00
5.0
(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,
并给出整点时的水深的近似数值。(精确到0.001)
(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例
规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能
进入港口?在港口能呆多久?
(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始
卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必
须停止卸货,将船驶向较深的水域?
解题过程:1、师生共同读题,进入题目情景。
2、由题目中所提供的数据选择一个来大概绘
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