几何基础论与连续性的发现和认知.PDF

數學傳播 33 卷 1期, pp. 22-43 幾何基礎論與連續性的發現和認知 項武義 引子: 我們和宇宙中所有事物與現象共存於其中的空間 (space) 具有簡樸、 精微、 完美兼 備的本質。 理性文明 中的幾何學乃是人類對於空間本質世代相承精益求精的認知之結晶, 它 自 然而然也理所當然的是理性地理解大 自然的先行者和奠基者, 是當之無愧的第一科學。 概括言之, 空間的基本性質可以歸結成下述四點: (1) 連結與分隔: 如兩點定一直線 (或直線段) 不共線三點定一平面等等。 (2) 對稱性: 空間對於任給平面的反射對稱性及其所反映的疊合性質如 S.A.S. 等等。 (3) 平直性: 三角形之內角和恆等於一個平角及其邏輯等價的平行性。 (4) 連續性: 一條直線是連續不斷, 但是一剪就斷! 總而言之, 幾何學所研究、 探討者也就是對於上述四種空間基本性質及其交互作用作有系統的 深入研討。 此事歷經數千年世代相承精益求精, 方有至簡至精的現代幾何學。 它不但是理性文明 的瑰寶, 也是理性文明的基礎所在。 今天將以幾何基礎論與連續性的發現與認知為主題, 概述其 要。 §1. 定性平面幾何 (概要) “平面” 是空間中的二維平直子集, 例如常見、 常用的紙片和版面都是平面的局部化, 而我 們視覺之所基的視網膜, 本質上乃是二維的。 由此可見, 平面圖象是一 目瞭然的, 先行研討平面 幾何乃是進而研究空間幾何的最佳起步與入門。 再者, 在平面幾何的研究中, 又 自然地得先從定 性層面做起, 然後才能進而研究定量平面幾何。 長話短說, 在定性平面幾何中, 我們研討平面的幾何圖形在連結、 分隔與疊合 (亦即全等 形) 上的表現, 在此僅僅簡述其概要如下: 22 幾何基礎論與連續性的發現和認知 23 1) 疊合與對稱: 平面對於其中任給一條直線的反射對稱性 (reflection symmetry) (亦稱之為軸對稱) 乃 是平面上最為簡樸的保長變換 (length preserving transformations), 其他如平移、 旋轉或心 對稱性 (central symmetry) 都可以由兩個軸對稱 合而成。 在希臘幾何中, 以對稱性在平面 形上的反映 — 疊合性 (亦即全等形) 的研討來表達之, 其基點在於 “S.A.S. 疊合條件” 和下述 等腰三角形特徵定理: A 如圖一所示, 等腰三角形具有下述邏輯等價的特徵性質: (i) AB = AC (定義) ⌣⌣ (ii) ∠B = ∠C 1 2 (iii) ∠1 = ∠2 和 BM = MC (iv) AM 垂直平分底邊 B M C (v) ∠1 = ∠2 和 AM ⊥ BC (圖一) [註]: 等腰三角形是唯一具有軸對稱 (亦即以 AM 為其對稱軸) 的三角形, 它是軸對稱性