利用球面坐标计算三重积分-湖南科技学院.PPT

一、三重积分的定义 2、利用球面坐标计算三重积分 三、小结 3. 三重积分的变量代换法 与二重积分的变量代换法相似，设 使x, y, z直角坐标系中的空间区域V变为u, v, w坐标系 中的空间域 ，并使之一一对应， 且函数 在 上的一阶偏导数均连续，雅可比行列式 用类似于二重积分的变量代换法的方法， 可得到体积元素 于是有 例如，对于柱面坐标 有 因而 对于球面坐标 来说，其雅可比行列式为 因而 这些结果与我们前面讲的完全一样． 例9 计算椭球 的体积． 解 ：设 这样在 坐标系中的球域 与在 坐标系中的 椭球域 相对应，而 所以椭球的体积为 例10. 计算 其中V为 解 作广义坐标变换 而雅可比行列式为 所以 补充：利用对称性化简三重积分计算 使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性； ２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的 奇偶性． 解 积分域关于三个坐标面都对称， 被积函数是 的奇函数, 解 * 湖南科技学院精品课程 第三节 三重积分的概念和计算方法 一、三重积分的定义 二、三重积分的计算 三、小结 （一）直角坐标系中将三重积分化为三次积分． 二、三重积分的计算 如图， 1.“先一后二”积分法： 得 注意 解 解 如图， 2.“先二后一”积分法：——截面法. 解 原式 1、利用柱面坐标计算三重积分 规定： （二）三重积分的换元法 柱面坐标与直角坐标的关系为 如图，三坐标面分别为 圆柱面； 半平面； 平 面． 　　如图，柱面坐标系中的体积元素为 解 知交线为 解 所围成的立体如图， 所围成立体的投影区域如图， 规定： 如图，三坐标面分别为 圆锥面； 球 面； 半平面． 球面坐标与直角坐标的关系为 如图， 球面坐标系中的体积元素为 如图， 解 * 湖南科技学院精品课程