动态系统的状态空间描述-Read.PPT

Ch.3 李雅普诺夫稳定性分析 本章简介(1/2) 本 章 简 介 本章讨论李雅普诺夫稳定性分析。 主要介绍 李雅普诺夫稳定性的定义以及 分析系统状态稳定性的李雅普诺夫理论和方法; 概述(1/5) 概 述 一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系统。 例如,电压自动调解系统中保持电机电压为恒定的能力; 电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。 具有稳定性的系统称为稳定系统。 稳定性的定义为： 当系统受到外界干扰后,显然它的平衡被破坏,但在外扰去掉以后,它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。 如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统。 概述(2/5) 也可以说,系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后,系统状态变量或输出变量的偏差量(被调量偏离平衡位置的数值)过渡过程的收敛性,用数学方法表示就是 式中，?x(t)为系统被调量偏离其平衡位置的变化量; ?为任意小的规定量。 如果系统在受到外扰后偏差量越来越大,显然它不可能是一个稳定系统。 概述(3/5) 分析一个控制系统的稳定性,一直是控制理论中所关注的最重要问题。 对于简单系统，常利用经典控制理论中线性定常系统的稳定性判据。 在经典控制理论中,借助于常微分方程稳定性理论,产生了许多稳定性判据,如劳斯-赫尔维茨(Routh-Hurwitz)判据和奈奎斯特判据等，都给出了既实用又方便的判别系统稳定性的方法。 但这些稳定性判别方法仅限于讨论SISO线性定常系统输入输出间动态关系,讨论的是 线性定常系统的有界输入有界输出(BIBO)稳定性, 未研究系统的内部状态变化的稳定性。也不能推广到时变系统和非线性系统等复杂系统。 概述(4/5) 现代控制系统的结构比较复杂,大都存在非线性或时变因素,即使是系统结构本身, 往往也需要根据性能指标的要求而加以改变,才能适应新的情况,保证系统的正常或最佳运行状态。 在解决这类复杂系统的稳定性问题时,最通常的方法是基于李雅普诺夫第二法而得到的一些稳定性理论,即李雅普诺夫稳定性定理。 概述(7/5) 第一类方法是将非线性系统在平衡态附近线性化,然后通过讨论线性化系统的特征值(或极点)分布及稳定性来讨论原非线性系统的稳定性问题。 这是一种较简捷的方法,与经典控制理论中判别稳定性方法的思路是一致的。 该方法称为间接法,亦称为李雅普诺夫第一法。 第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判别稳定性,而是通过定义一个叫做李雅普诺夫函数的标量函数来分析判别稳定性。 由于不用解方程就能直接判别系统稳定性,所以第二种方法称为直接法,亦称为李雅普诺夫第二法。 李雅普诺夫稳定性的定义(1/4) 3.1 李雅普诺夫稳定性的定义 系统稳定性是动态系统一个重要的,可以用定量方法研究和表示的定性指标。 它反映的是系统的一种本质特征。这种特征不随系统变换而改变,但可通过系统反馈和综合加以控制。 这也是控制理论和控制工程的精髓。 在经典控制理论中,讨论的是在有界输入下,是否产生有界输出的输入输出稳定性问题。 从经典控制理论知道,线性系统的输入输出稳定性取决于其特征方程的根,与初始条件和扰动都无关,而非线性系统则不然。 李雅普诺夫稳定性的定义(2/4) 非线性系统的稳定性是相对系统的平衡态而言的,我们很难笼统地讨论非线性系统在整个状态空间的稳定性。 对于非线性系统,其不同的平衡态有着不同的稳定性,故只能分别讨论各平衡态附近的稳定性。 李雅普诺夫稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。 它是一种具有普遍性的稳定性理论, 不仅适用于线性定常系统,而且也适用于非线性系统、时变系统、分布参数系统。 李雅普诺夫稳定性的定义(4/4) 下面将分别介绍如下李雅普诺夫稳定性有关定义。 平衡态 李雅普诺夫意义下的稳定性 渐近稳定性 大范围渐近稳定性 不稳定性 平衡态稳定性与输入输出稳定性的关系 平衡态(1/4) 3.1.1 平衡态 设我们所研究的系统的状态方程为 x’=f(x,t) 其中x为n维状态变量; f(x,t)为n维的关于状态变量向量x和时间t的非线性向量函数。 对该非线性系统,其平衡态的定义如下。 平衡态(2/4) —定义1 定义3-1 动态系统 x’=f(x,t) 的平衡态是使 f(x,t)?0 的状态,并用xe来表示。 从定义3-1可知,平衡态即指状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点(状态)。 由于导数表示的状态的运动变化方向,因此平衡态即指能够保持平衡、维持现状不运动的状态,如上图所示。 平衡态(3/4) 李雅普诺夫稳定性研究的平衡态附近(邻域)的运动变化问题。 若平衡态附近某充分小邻域内所有状态的运动最后都趋于该平衡态,则称该平衡态是渐近稳定的; 若发散掉则称为不稳定的,若能维持在平衡态