复变函数试卷五.DOC

《复变函数》试卷五 填空题（18分） 1. 的所有值为： 2. ＝ ＝ 3. ＝ 4. 设，则＝ 5． 令，，则＝ ＝ 6. 线性变换在扩充平面上有下列特性，请你完整地予以叙述 ⑴ 保形性： ⑵ 保交比性： ⑶ 保圆周性： ⑷ 保对称性： 7. 将平面上的直线变换为平面上的曲线 二、判断题（10分） 下列断语如果正确则打“ √”，否则打“×” 如果函数在点处解析，则存在，使在 内可展成泰勒级数，且展式唯一 （ ） 设是平面上的一点，若为函数的可去奇点，则（ ） 如果函数在某有界区域内解析，且在内有一列零点， 则在内恒为零 （ ） 和都是平面上的有界整函数 （ ） 若函数在区域内解析，则. 其中是内的任意一条围线 （ ） 三、解下列各题（24分） 求的值，其中是上半单位圆周，起点为，终点为 求函数在的留数 计算积分 将函数在处展开成幂级数，并求其收敛半径 四、证明题（24分） 试证：在原点解析，且在处取下列值的函数是不存在的： 试证：的根全在内 五、（12分） 求将对应地变成的线性变换 六、（12分） 求出将圆变成半平面的保形变换，使得圆心变到－4，而圆周上的点变到变到 试卷五参考答案 填空题（18分） 1. 2. ， 3. 3 4. 5. ， 6. ⑴ 将扩充平面保形地变换为扩充的平面 ⑵ 设，则有 ⑶将扩充平面上的圆周变成扩充平面上的圆周 ⑷设扩充平面上两点关于圆周对称，为一线性变换，则两点关于圆周对称。 7. 二、判断题（10分） 1. √ 2. √ 3. × 4. × 5. × 三、解下列各题（24分） 1． 解：因在所在的单连通区域内解析，故有 2． 解：－1 3. 解： 而 故有 解： 其收敛半径为 四、 证明题（24分） 解：假设满足要求的函数存在， 则由及解析函数唯一性定理知 或 或 如果，则 此与相矛盾 如果，则 此与相矛盾 因此这样的函数是不存在的 证：（Ⅰ）取，当 时 由儒歇定理知 （Ⅱ） 取，当时 由儒歇定理知 （Ⅲ）下证方程在上没有根 即证当时有 事实上 综上述，之根全在内 五、（12分） 解：所求线性变换为 即 六、（12分） 解：首先作线性变换