选修4-5 4.2_用数学归纳法证明不等式课件(人教A).ppt

[读教材·填要点] 贝努利(Bernoulli)不等式 如果x是实数，且x－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n . 1＋nx [小问题·大思维] 在贝努利不等式中，指数n可以取任意实数吗？ 提示：可以．但是贝努利不等式的体现形式有所变化．事实上：当把正整数n改成实数α后，将有以下几种情况出现： (1)当α是实数，并且满足α1或者α0时， 有(1＋x)α≥1＋αx(x－1)． (2)当α是实数，并且满足0α1时，用(1＋x)α≤1＋αx (x－1)． [精讲详析]　本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要先对n取特值，猜想Pn与Qn的大小关系，然后利用数学归纳法证明． (1)当n＝1,2时，Pn＝Qn. (2)当n≥3时，(以下再对x进行分类)． ①若x∈(0，＋∞)，显然有PnQn. ②若x＝0，则Pn＝Qn. ③若x∈(－1,0)， 则P3－Q3＝x30， 所以P3Q3. P4－Q4＝4x3＋x4＝x3(4＋x)0， 所以P4Q4. 假设PkQk(k≥3)， 则Pk＋1＝(1＋x)Pk(1＋x)Qk＝Qk＋xQk (1)利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立． (2)本题除对n的不同取值会有Pn与Qn之间的大小变化，变量x也影响Pn与Qn的大小关系，这就要求我们在探索大小关系时，不能只顾“n”，而忽视其他变量(参数)的作用． [精讲详析]　本题考查数学归纳法的应用以及探索型问题的求解方法．解答本题需要根据n的取值，猜想出a的最大值，然后再利用数学归纳法进行证明． 利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：先通过观察、判断，猜想出结论， 然后用数学归纳法证明．这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在型或探索型问题时． 解：猜想当t＝3时，对一切正整数n使3nn2成立．下面用数学归纳法进行证明． 当n＝1时，31＝31＝12，命题成立． 假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，3kk2成立， 则有3k≥k2＋1. 对n＝k＋1,3k＋1＝3·3k＝3k＋2·3k ≥k2＋2(k2＋1)3k2＋1. ∵(3k2＋1)－(k＋1)2 ＝2k2－2k＝2k(k－1)≥0， ∴3k＋1(k＋1)2， ∴对n＝k＋1，命题成立． 由上知，当t＝3时，对一切n∈N＋，命题都成立． (2012·大纲全国卷)函数f(x)＝x2－2x－3.定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过两点P(4,5)、Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标． (1)证明：2≤xn＜xn＋1＜3； (2)求数列{xn}的通项公式． [命题立意]　本题考查数学归纳法证明不等式问题，考查学生推理论证的能力． * *