哈尔滨工业大学210《现代控制理论基础》考试题A卷及答案.doc

即 （2）定义状态变量 ，，， 则 或写成 二．（本题满分10分） 设一个线性定常系统的状态方程为，其中。 若时，状态响应为；时，状态响应为。试求当时的状态响应。 【解答】系统的状态转移矩阵为，根据题意有 合并得 求得状态转移矩阵为 当时的状态响应为 三．（本题满分10分） 已知某系统的方块图如下， 回答下列问题： （1）按照上图指定的状态变量建立状态空间表达式； （2）确定使系统状态完全能控且完全能观时，参数的取值范围。 【解答】（1）系统的状态空间表达式为 （2）使系统状态完全能控且完全能观时，参数且。 四．（本题满分10分） 离散系统的状态方程为 （1）是否存在一个有限控制序列，使得系统由已知的初始状态，转移到，？试给出判断依据和判断过程。 （2）若存在，求的最小值及控制序列。 【解答】 （1）由题意， ，，，，由系统能控性的定义可知：存在有限控制序列，使得在有限时间内由状态初值转移到零。 （2）由系统状态完全能控的性质可知，此系统为二阶系统，可用适当的，，使得，即的最小值为1。 根据状态方程进行递推如下： ， 由上面最后一步可得 即 即，。 五．（本题满分10分） 对下列系统 试设计一个状态反馈控制器，满足以下要求：闭环系统的阻尼系数；阶跃响应的峰值时间等于3.14秒。 【解答】 假设状态反馈控制律为，代入状态方程得闭环系统 闭环特征多项式为 根据题意的要求，，，，期望特征多项式为 根据多项式恒等的条件可得： 解得 状态反馈控制律为。 六．（本题满分10分） 设系统的状态空间表达式为 若该系统的状态不可测量，试设计一个降维状态观测器，使降维观测器的极点为，要求写出降维观测器动态方程，并写出状态的估计方程。 【解答】将状态空间表达式写成： 进一步写成 设降维观测器方程为 引入中间变量，两边求导数得 根据题意，降维观测器的极点为-10，即，解得。 最终得到降维观测器的动态方程为 状态估计的表达式为。 七. （本题满分10分） 证明对于线性定常系统的线性变换，其传递函数（矩阵）保持不变。 【证明】设原线性系统为 其传递函数矩阵为 设线性变换为，变换后的线性系统为 该系统的传递函数矩阵为 显然，，即其传递函数（矩阵）保持不变。 证毕 八. （本题满分10分） 某2阶非线性系统的状态方程为，证明该系统在坐标原点处渐近稳定。 【证明】 取李雅普诺夫函数，显然是正定函数；此外，沿着状态轨线的导数为： 令函数，则，关于的二次方程的根的判别式为 ，，。则有，所以表达式恒小于零，因此，为负定。所以该系统在坐标原点处渐近稳定。 哈尔滨工业大学 现代控制理论基础 (A卷答案) 班号： 姓名： 第 3 页 （共 8 页） 哈工大2010年春季学期 班号 姓名 现代控制理论基础 试题A答案 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 卷面分 作业分 实验分 总分 满分值 10 10 10 10 10 10 10 10 80 10 10 100 得分值 第 1 页 （共 8 页） （本题满分10分） 如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为，摆杆的质量忽略不计，摆杆末端两个质量块（质量均为）视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧，与分别为两摆杆与竖直方向的夹角。当时，弹簧没有伸长和压缩。水平向右的外力作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满足近似式，。 （1）写出系统的运动微分方程； （2）写出系统的状态方程。 【解】 （1）对左边的质量块，有 对右边的质量块，有 在位移足够小的条件下，近似写成：