几何的角度解释矩出现病态2.doc

矩阵的范数 范数的定义 　　若X是数域K上的线性空间，泛函 ║·║: X-R 满足： 　　1. 正定性：║x║≥0，且║x║=0 = x=0； 　　2. 正齐次性：║║│≤│A║B║； 　　3. 次可加性(三角不等式)：║+B║≤║A║+║B║ 。 　　那么║·║称为X上的一个范数。 　　（注意到║x+y║≤║x║+║y║中如令y=-x，再利用║-x║=║x║可以得到║x║≥0，即║x║≥0在定义中不是必要的。） Ｘ也有扰动： （A＋ΔA）（Ｘ＋ΔＸ）＝B＋ΔB （1） AΔＸ＝ΔA（Ｘ＋ΔＸ）+ΔB ΔＸ＝－A-1ΔA（Ｘ＋ΔＸ）＋A－１ΔB将上式两端取范数，并应用向量范数的三角不等式 ║AB║│≤│A║B║；║+B║≤║A║+║B║ 。 把含有ΔＸ的项移到式子的左边有： (1-||A-1||||ΔA||)||ΔＸ||≤||A-1||||ΔA|| ||Ｘ||+||A-1| ||ΔB|| 由于有?? 将上式两端同时乘以??||Ｘ||得： (1-||A-1||||ΔA||)||ΔＸ||/||X||≤||A-1||||ΔA|| +||A-1||||ΔB||A||/||B||; 设K=||A||||A-||将上式整理的： （1-K||ΔA||/||A||）||ΔＸ||/||X||≤K(||ΔA||/||A||+||ΔB||/||B||); 即有：||ΔＸ||/||X||≤k/（1-K||ΔA||/||A||）(||ΔA||/||A||+||ΔB||/||B||); 问题与实验1: 试从几何的角度解释矩阵出现病态的原因，并用‘有说服力’的例子来支持你的观点； 线性方程组解的敏感性的几何解释(2x2矩阵)线性方程组求解：两直线求交点下面两图分别反映了良态问题和病态问题两种情况。 良态情况 病态情况 由图像可以看出当两条直线的夹角较大时其精确解与近似解距离较小（其中两条直线的交点是其精确解）当两条直线的夹角较小时其精确解与近似解距离较大。虚线为直线的系数产生微小的扰动时的直线。 下面我们用两个例子说明： 例 设方程组，即，它的精确解为. A=[2,6;2,6.00001;] B=[8;8.00001] C=double(A\B) cond(A) norm(A) A = 2.0000 6.0000 2.0000 6.0000 B = 8.0000 8.0000 C = 1 1 ans = 4.0000e+006 ans =8.9443 下面我们来求上面两条直线的夹角：计算直线夹角 根据给定的节点，计算夹角信息，示意图如下。已知点X1(x1, y1)、点X2(x2, y2)、点X3(x3, y3)，计算直线由点X2，X1与X2，X3的夹角信息。 根据向量内积，得到计算公式为： theta1 = acosd(dot([x1-x2,y1-y2],[x3-x2,y3-y2])/(norm([x1-x2,y1-y2])*norm([x1-x2,y3-y2]))); 其中，dot([x1-x2,y1-y2],[x3-x2,y3-y2])为计算内积，norm([x1-x2,y1-y2])为计算向量长度，acosd为计算以度为单位的夹角信息。 由这个公式计算这两条直线的夹角：theta1 = acosd(dot([2,6],[2,6.00001])/(norm([2,6])*norm([2,6.00001]))) theta1 = 2.8649e-005 它的图像是 X1=[0.9:0.0001:1.1]; y=-1/3*X1+4/3; z=-2/6.00001*X1+8.00001/6.00001; subplot(1,2,1) hold on plot(X1,y,b) plot(X1,z,g) X2=[9.9:0.0001:10.1]; n=-1/3*X2+4/3; m=-2/5.99999*X2+8.00002/5.99999; subplot(1,2,2) hold on plot(X2,n,r) plot(X2,m,g) 现在考虑系数矩阵和右端项的微小变化对方程组解的影响，即考察方程组 ， 其解变为. A=[2,6;2,5.99999;] B=[8;8.00002] C=double(A\B) cond(A) norm(A) A = 2.0000 6.0000 2.0000 6.0000 B = 8.0000 8.0000 C =10 -2 ans =4.0000e+006 ans = 8.9443.同样我们来计算这两条直线产生夹角：theta1 = acosd(dot([2,6],[