论能表为4个真子群并的群.doc

 文章编号 : 1673 - 9868 (2011) 02 - 0091 - 04 ① 论能表为 4 个真子群并的群 宋科研1 , 晏燕雄2 11 西南大学 数学与统计学院 , 重庆 400715 ; 21 重庆教育学院 数学系 , 重庆 400067 : 研究了有限群表为 4 个真子群的并的问题 , 给出了一个新证明 , 并且对群结构进行了更详细的讨论 : 若一个有限群 G 能表为 4 个真子群 G1 , G2 , G3 及 G4 的并 , 则 (a) ( b) 键 G1 , G2 , G3 及 G4 中至少有一个是 G 的正规子群 ; G 同态于 S 3 或 Z3 × Z3 , 且同态核是 G1 ∩ G2 ∩ G3 ∩ G4 . : 极大子群 ; 正规子群 ; 有限群的分解 : O1521 1 文献标志码 : A 众所周知 , 一个群不能表为两个真子群的并 . 但由文献 [ 1 - 2 ] 知道 , 克莱因四元群能表为 3 个真子群 的并 , 并且由文献 [ 1 ] 知 , 一个群能表为 3 个真子群的并当且仅当它同态于 Z2 ×Z2 . 此外由文献 [ 1 ] 知道 , S3 和 Z3 ×Z3 都能表为 4 个真子群的并 . 文献 [ 3 ] 给出 : 一个有限群 G 能表为 4 个真子群的并但不能表为 3 个真子群的并 , 当且仅当它同态于 S 3 或 Z3 ×Z3 . 尽管文献 [ 3 ] 的证明比较简洁 , 但是并不能得到关于 4 个 子群的信息 , 也不知道同态的核到底是什么. 本文将从子群的角度给出一些解释 , 确定这些真子群更加详 细的性质 , 求出同态核 , 并且给出结论的另外一个证明 . 为了后面证明的需要 , 我们列出文献 [ 1 - 3 ] 中的 主要结果如下 : 定理 A [ 1 - 2 ] 一个群 G 能表为 3 个真子群 G1 , G2 , G3 的并 , 当且仅当 G/ G1 ∩ G2 ∩ G3 ÷ Z2 ×Z2 , 其 中 G1 , G2 , G3 都是指数为 2 的正规子群. 定理 B [ 3 ] 一个有限群 G 能表为 4 个真子群的并当且仅当它同态于 S3 或 Z3 ×Z3 . 在下面的论述中 , 我们总假定群 G 恰能表为 n 个真子群的并 , 即能表为 n 个真子群的并 , 但不能表为 k 个真子群的并 ( k n) . 此时 , 我们还可以假定这 n 个真子群是极大子群 , 否则我们总可以把不是极大的子 群换成极大子群. 1 如果群 G 的子群 A 满足 : 对某个 x G 有 G = A A x , 则 A = G. 因为 G = A A x , 所以 G = A x A , 于是 G 中的任何一个元素 g 都能写成 g = ax a2 , 其中 a1 , a2 ∈A . 1 特别地 , 对 x 有 x - 1 1 = x - 1 a1 x a2 , 则 x = a1 - 1 a2 - 1 = ax a2 A , 从而 G = A x A = A A = A . 2 若群 G 恰能表为 n 个真子群 G1 , G2 , , Gn 的并 , 则 G1 ∩ G2 ∩ ∩ Gn = G2 ∩ G3 ∩ ? ∩ Gn = G1 ∩ G3 ∩ ? ∩ Gn = ? = G1 ∩ G2 ∩ ? ∩ Gn- 1 证 以第一个等式为例加以证明 . 取 收稿日期 : 2010 - 04 - 22 基金项目 : 重庆教育学院重点资助项目 ( KY200908 A) . g1 ∈ G1 \ ( G2 ∪ G3 ∪ ? ∪ Gn ) 对任意的 x G2 ∩ G3 ∩ ? ∩ Gn 有 g1 x G1 , 故 x G1 , 因此 G1 ∩ G2 ∩ ∩ Gn = G2 ∩ G3 ∩ ? ∩ Gn 同理可证其他等式成立 . 1 若有限群 G 恰能表为 4 个真子群 G1 , G2 , G3 , G4 的并 , 则 G1 ∩ G2 ∩ G3 ∩ G4 = Gi ∩ Gj ∩ Gk = Gi ∩ Gj 其中 i , j , k { 1 , 2 , 3 , 4} , 且 i , j , k 互不相等. 第 1 个等式由引理 2 直接可得 , 下证第 2