天津科技大学李伟版高等数学第五章定积分习题解答.doc

习题5—1(A) 1．判断下列叙述是否正确？并说明理由： （1）如果函数仅在区间上有界，它在上未必可积，要使其可积，它在上必须连续； （2）如果积分（）； （3）性质5也常称为积分不等式，利用它（包括推论）结合第三章的有关知识，可以估计积分的值、判定积分的符号，也可证明关于定积分的某些不等式； （4）定积分的中值定理是一个非常重要的定理，利用它能去掉积分号，同时该“中值”还是被积函数在积分区间上的平均值. 答：（1）前者正确．如狄利克雷函数在区间（其中）上有界，但是它在区间上不可积，事实上：将任意分成个小区间 ，（其中）个小区间长度为，先在上取为有理数，则，再在上取为无理数，则，对于的不同取法黎曼和的极限不同，所以在区间上不可积；后者不正确，参见定理1.2． （2）正确．事实上：由于在区间上可积，则对的任意分法，的任意取法，都有，现在对区间等分，去在小区间的右分点，则，，并且等价于，所以 ． （3）正确．它是证明关于定积分不等式的基础，参见例题1.3、1.4、1.5等． （4）正确．它可以起到去掉积分号的作用；也可以用来表示连续函数在区间上的平均值，但是由于位置不好确定，一般不用它来计算平均值，而是直接计算. 2．自由落体下落的速度，用定积分表示前10秒物体下落的距离. 解：根据定积分引入的实例，变速直线运动的路程，所以． 3．一物体在力作用下，沿轴从点移动到点，用定积分表示力所做的功. 解：将位移区间任意分成个小区间，（其中）个小区间长度为，在上任取一点，用近似代替物体从移动到时所受的力，则物体从移动到时所做的功近似为，于是，记，则（假定极限存在）. 4．用定积分的几何意义求下列积分值： （1）； （2）. 解：（1）如图，上半圆的面积， 根据定积分几何意义， 所以，． （2）如图，面积，， 根据定积分几何意义， 所以，． 5．若函数在区间上连续，用定积分的几何意义说明： 当为奇函数时，； 当为偶函数时，. 解：（1）如图1，当是奇函数时，由对称性，面积， 根据定积分几何意义，. （2）如图2，当是偶函数时，由对称性，面积， 根据定积分几何意义，. 6．比较下列各组定积分的大小： （1）与； （2）与； （3）与；（4）与. 解：（1）因为在区间上，所以，即． （2）因为在区间上，所以，即． （3）因为在区间上，所以，即． （4）因为在区间上，所以，即． 7．估计下列定积分的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 解：（1）设，在区间上显然有，又 ，于是函数在区间上的最小值为，最大值，而区间长度，根据，得． （2）设，由于函数在区间上单调增加，于是在区间上的最小值为，最大值，而区间长度，根据，得． （3）设，则，在区间上，于是函数 在区间上单调减少，所以在区间上的最小值为，最大值，而区间长度，根据，得． （4）设，则，有，在区间内得驻点，又，所以函数在区间上的最小值为，最大值，而区间长度，根据，得． 8．证明下列不等式： （1）； （2）. 证明：（1）在区间上显然有，所以. （2）设，在区间上，，于是函数在区间上单调增加，从而，即在区间上，所以. 习题5—1(B) 1．右图给出了做直线运动的某质点在0到9s内的速度图象，求它在这段时间间隔内所走的路程. 解：质点在0到9s内所走的有效路程为阴影面积的 代数和，即（单位）； 质点在0到9s内所实际走的路程为阴影面积的和，即（单位） 2．用定积分中值定理求下列极限： （1）； （2）． 解：（1）由定积分中值定理，（其中），于是 ． （2）由定积分中值定理，（其中）， 由，有等价于，于是 ． 3．若函数在区间（）上连续，，且不恒等于，证明． 证明：设，由题目条件知，在区间上函数连续且又不恒等于零，于是有，使得，由连续函数的性质，，在区间内恒有，设区间 （），所以，即，再由定积分的线性性，得． 4．证明下列不等式： （1）； （2）（其中是正整数）. 证明：（1）设，则，由，在区间内得驻点，又，于是函数在区间的最小值为，最大值为，从而，因为 ，所以． （2）在区间上显然有，且等号不恒成立，而函数、 都连续，根据本节习题（B）3，有，而由定积分的几何意义得，，所以． 习题5—2(A) 1．判断下列叙述是否正确？并说明理由： （1）在定理2.1的证明中，被积函数连续的条件是不可缺少的； （2）若连续、可导，则的导数等于被积函数在上限处的值； （3）在连续、及可导时，通过将化成两个变上限定积分，可求得； （4）使用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分，首先要找到被积函数在积分区间上的一个原函数，然后求该