微分变换法求解Fredholm积分方程组及分数阶四阶扩散波方程.doc

毕业论文 论文题目: 微分变换法求解 Fredholm 积分 方程组及分数阶四阶扩散波方程 姓 名: 谭 辉 学 号： P071513096 学 院： 数学与计算机科学学院 专业班级： 2007级信息与计算科学（1）班 指导老师： 马维元 微分变换方法求解Fredholm积分方程组及分数阶 四阶扩散波方程 专业：信息与计算科学 姓名：谭辉 指导教师：马维元 摘 要 本文定义了微分变换,介绍了如何进行微分变换操作,然后给出了Fredholm积分方程组并运用微分变换法解出了Fredholm积分方程组.文中对分数阶导数作了相关的介绍并对分数阶四阶扩散波方程进行了求解. 关键词 微分变换法,Fredholm积分方程组,分数阶导数 ABSTRACT This paper aims at giving a definition of differential transform and introducing the operation of differential transform by citing an example of working out Fredholm integral equations group with differential transform method. Integral equations of fractional order derivative are introduced and the related fractional diffusion of fourth-order wave equations is solved. Key Words：Differential transformation method, Fredholm integral equations, Fractional order derivative 引言 微分变换法是近年来发展起来的一种求解微分方程的数值方法,其显著特点是它能够解决线性和非线性微分方程.通过微分变换可以解决抛物型、双曲线、椭圆和非线性偏微分方程. 分数阶微积分的理论研究几乎与整数阶微积分的发展史一样久远. 然而由于长期没有得到实际应用背景的促进而发展极其缓慢. 还应该指出的是,传统的微商运算是一种局部算子,而分数阶微分是一种非局部的整体算子.本文定义了微分变换法并介绍了如何进行微分变换,然后用微分变换法求解了积分方程组及分数阶四阶扩散波方程,从而表明了用微分变换法求解偏微分方程的有效性及可行性. 1.微分变换 1.1 一维微分变换 1.1.1一维微分变换的基本定义和运算 定义1.如果在定义域上是解析的,令 (1) 对于,,其中属于非负整数集,则式（1）可改写为 , (2) 其中是在上的变化范围,称式（2）为的微分变换. 定义2：如果是解析的,则可以表示为： (3) 称之为的微分逆变换 如果表示为： (4) 则函数可以表示为： (5) 其中,.作为一个加权因子. 1.1.2一维微分变换的性质： 性质1：如果,则. 性质2：如果,则,其中为常数. 性质3：如果,则. 性质4：如果,则. 性质5：如果,则. 1.2 二维微分变换 定义3：对于两个变量的二维函数,把它看作是两个单独变量的函数,,基于一维微分变换,函数可以表示为： (6) 其中是的变化范围. 如果是解析的,则 (7) 其中是原函数,是转换函数,即为 的微分变换. 定义4：的微分逆变换的定义为： (8) 由（7）和（8）可得： (9) 1.3 分数阶微分变换 1.3.1Riemann-Liouville和Caputo定义 关于分数阶导数的定义和介绍有很多,其中用到的最多的就是Riemann-Liouville和Caputo分数阶导数,二者的不同之处表现在对分数阶的赋值上面. Riemann-Liouville分数阶导数的定义如下： (10) Caputo分数阶导数的定义如下：