洛伦兹吸引子 - Read.ppt

第二章 分岔与奇怪吸引子;第三节 流体不稳定性与洛伦兹方程 ; 1900年，法国科学家贝纳德(E.Benard)做了一个著名的对流实验。 ;贝耐特对流实验 ;瑞利数 ;倍周期分岔的实验检验; 由于检测到的信号受噪声干扰很大，很难从中分析出有用的信息。利布沙伯便随时间变化信号进行傅立叶变换，再从频谱图来分析液氦对流信息。 开始时功率谱中只有对流翻动频率为 f 的基波峰，相应两个对流圈翻动。随着瑞利数增大，在功率谱出现基波频率一半的倍周期(f/2)谐波，接着又出现 f/4、f/8…等次谐波。实验结果显然是倍周期分岔现象。;倍周期分岔普遍性;洛伦兹的设想;洛伦兹的设想;洛伦兹方程;洛伦兹方程的耗散性质;洛伦兹方程解的分岔;原点的稳定性;C1与 C2的稳定性;C1与 C2的稳定性;C1与 C2的稳定性; 当 r 继续增加直到 r =13.962时，两个螺旋线外径会接触合并一起。当特征方程 的第2与第3项之积等于常数项时共轭复根的实部为零，成为纯虚数， 有：; ;第四节 李雅普诺夫指数与奇怪吸引子;1.李雅普诺夫指数;1.李雅普诺夫指数; 考察平方映射的两个迭代运算 ;奇怪吸引子;两个系统： 设其初始值微小误差 ，经过一次迭代以后有： 式中： 由第二次迭代得： 经过第 n 次迭代得： ∏为多重乘号。 ; 可见，两个系统对初始扰动的敏感度由导数 决定，它与初始值 x0 有关。映射整体对初值敏感性需对全部初始条件平均，要进行 n 次迭代： 两个系统如初始存在微小误差，随时间(或迭代)产生分离，分离程度常用李雅普诺夫(Lyapunov)指数来度量,它为几何平均值的对数： 式中xn为第 n 次迭代值。取 ，得李雅普诺夫指数计算公式： ; 利用李雅普诺夫指数l ，相空间内初始时刻的两点距离将随时间(迭代次数)作指数分离： 在一维映射中l 只有一个值，而在多维相空间情况下一般就有多个 li ，而且沿相空间的不同方向，其 li (i=1,2,…)值一般也不同。 ; 稳定体系的相轨线相应于趋向某个平衡点，如果出现越来越远离平衡点，则体系是不稳定的。系统只要有一个正值的就可出现混沌运动。 判别一个非线性系统是否存在混沌运动时，需要检查它的最大李雅普诺夫指数 l 是否为正值。 ;吸引子与李雅普诺夫指数;平方映射的 l 指数;2. 奇怪吸引子 -埃侬吸引子;2. 奇怪吸引子 -埃侬吸引子;埃侬吸引子;埃侬吸引子的 l 指数; 指数 l 随参数 m 的变化 1.在 时始终为负值； 2.在 附近由负值转为正值，并随 m 增加出现一些规则运动的窗口。 3.当 时轨道变得不再稳定，因此曲线也在此终止。 4.在 处计算得: ;埃侬吸引子的 l 指数;;洛伦兹吸引子 ;洛伦兹吸引子的 l 指数;2. 奇怪吸引子-罗斯勒吸引子; 图a--保面积变换(保守系统)将单位正方块(x,y)通过拉伸与压缩变换成长方形。再将长方形进行折叠，把其右半部分折叠到左半部分的上部。 图b-- 的非保面积（耗散系统）变换。 ;(1)在 x 方向上: 考虑初始值 及其邻域 ，则一次迭代后它们的距离是： 则作 n 次迭代后的距离是 即： 比照线性常微分方程，则得： 式中 n 代替了连续时间 t。; 利用李氏指数计算公式，得在 x 方向上李雅普诺夫指数 ： 该式说明在 x 方向上的对初始条件非常敏感 (2) 在y方向上 由巴克尔变换第二式可知在 y 方向的李氏指数 ， 可见，巴克尔变换使 x 方向上的相空间伸长，y 方向上的压缩。x 方向上拉伸与 y 方向上压缩的结果使体积减小，说明这是耗散系统。 ; 根据相空间的伸展与折叠思想，罗斯勒( )在简化的洛伦茨方程的基础上，于1976年设计了一个新的吸引子方程组，称为罗斯勒方程组： ;罗斯勒吸引子 ;c =2.6; 参数：a = b = 0.2。当c=2.6时，相轨线是简单单周期的极限环，其功率谱为系统的基频f（~16Hz