2011届高中数学第一轮总复习_第59讲空间几何体三视图和直观图、表面积与体积(理科)新人教A版.ppt

(方法二)延长BB1、CC1到B3、C3，使得BB1=CC3=AA1. 则V=V柱A1B1C1-AB3C3-V锥A-BB3C3C = ×2×2×4- × (1+2)×2×2 =6. 在△ABC中,AB= = ， BC= = ， AC= =2 . 则S△ABC= ×2 × = . 处理不规则几何体的体积时，或将其分割柱、锥、台或将补体为柱、锥、台，然后计算其体积. 题型三 简单组合体问题 例3 有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5，圆心角为 π的扇形，在这个圆锥中内接一个高为x的圆柱. (1)求圆锥的体积； (2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大? 由圆锥的侧面展开图，圆心角与半径的关系可求圆锥的母线长，底面半径与高.内接圆柱的侧面积是高x的函数，再用代数方法求最值. (1)因为圆锥侧面展开图的半径为5,所以圆锥的母线长为5.设圆锥的底面半径为r，则2πr=5× ,所以r=3,则圆锥的高为4,故体积V= πr2×4=12π. (2)右图为轴截面图，这个图为等腰三角形中内接一个矩形. 设圆柱的底面半径为y, 则 = ，得y=3- x. 圆柱的侧面积 S(x)=2π(3- x)x = π(4x-x2)= π［4-(x-2)2］(0＜x＜4). 当x=2时，S(x)有最大值6π. 所以当圆柱的高为2时，有最大侧面积6π. 旋转体的接、切问题常考虑其相应轴截面内的接、切情况，实际是把空间图形平面化. 一球与边长为2的正方体的各棱相切,则球的表面积是 ,体积是 . 正方体相对棱之间的距离为球的直径2R. 则有2R=2 ,所以R= , 所以S球=4πR2=8π,V球= πR3= π. 8π π 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长也为a,且∠A1AB=∠A1AC=60°. (1)证明:三棱锥A1-ABC是正三棱锥； (2)证明:三棱柱的侧面BCC1B1是矩形； (3)求棱柱的侧面积. 有关几何图形的证明，应紧扣其定义与已知进行探索. (1)证明:因为∠A1AC=∠A1AB=60°, 又因为A1A=AC=AB=a,所以A1B=A1C=a, 故A1-ABC是棱长为a的正四面体， 所以A1-ABC是正三棱锥. (2)证明：设顶点A1在底面ABC的射影为O，连接AO并延长与BC相交于点D. 因为AD⊥BC,且AD是AA1在底面ABC的射影，所以AA1⊥BC.又因为AA1∥CC1,所以CC1⊥BC,故平行四边形BCC1B1是矩形. (3)S侧=S ACC1A1+S ABB1A1+S矩形BCC1B1 =2·a2·sin60°+a·a=(1+ )a2. 由于给出的棱柱不是正棱柱,所以在求侧面积时,应对每一个侧面的面积分别进行计算.本题的易错点是对侧面形状判断出错. 1.充分熟记柱、锥、台、球的概念及其结构特征，并能善于运用这些特征描述简单物体的结构. 2.三视图的识别规则是：“正、侧同高,正、俯同长,俯、侧同宽”. 3.要用联系的观点来认识柱、锥、台、球的性质，在给出相关体积、表面积公式的前提下能准确计算其体积与表面积. 4.将空间问题转化化归为平面图形问题是解决立体几何问题的最基本、最常用的方法. 学例1 (2007·江苏卷)将正三棱柱截去三个角(如图1所示，A、B、C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( ) 因为EFD-HIG是正三棱锥，且AE在平面EG中，所以在侧视图(左视图)中,AE应为竖直的，选A. 学例2 (2009·辽宁卷)设某几何体的三视图如下（长度单位为m): 则该几何体的体积为 m3. 4 由三视图可知原几何体是一个三棱锥(其直观图如右),且该三棱锥高为2,底面三角形一边为4,且该边上的高为3,故该几何体体积V=16×2×4×3=4