2014国赛集训专题6——蒙特卡洛方法和排队论.ppt

2014国赛集训专题6 2014数学建模集训专题五 蒙特卡罗模拟方法与排队论模型 本专题提纲 一 引言 二 蒙特卡罗仿真原理介绍 三 蒙特卡罗仿真例子与分析 四 排队论简介 五 排队论研究方法 六 作业 二 蒙特卡罗仿真原理介绍 （伪）随机数的产生 仿真与模拟的目的与原理 仿真与模拟可以说是针对同一内容的不同角度的看法描述，当需要对某一问题观察研究而相应的观察与实验时间与成本花费太高时，可以考虑用一个模型代替原型，用模型的研究达到原型的研究的目的（以节约时间与成本），这就是仿真，其在计算机上等的实现过程也称为模拟。 例1：中子穿过原子反应堆屏障问题模拟 中子撞击铅屏模拟流程图 中子问题程序 n=10000; % simulation number m=0; %frequency;Further,D is deemed to be 1 for i=1:n theta=unifrnd(-pi/2,pi/2); % initinal angle x=cos(theta); % only x needs to be considered for j=1:10 theta=2*pi*rand;%new angle after a hitting x=x+cos(theta);% new distance is added if x0 % the neutron returns to the pile break; end if x3 % the neutron passes through the barrier m=m+1; % m adds 1 break; end end end fn=m/n %frequency 例2：计算定积分 分析： 这个积分应该有精确解，因为原函数的缘故这个积分不易求得，故求一个近似解是必然的选择。可以用其他方法求近似解，这里用蒙特卡罗方法。用蒙特卡罗方法离不开随机变量。当问题本身具有随机性时，随机变量的选取与这个随机问题应当一致（如上例）；而当问题本身不具有随机性时（本例），就要引入随机变量，将确定性问题转化为不确定问题，以求得问题的解。 根据积分区域，引入随机变量 X∽U(0,3),记其密度函数为φ(x)(=1/3)，又记f (x)=exp(-x2),且在[0,3]上记Y=F(X)=f (X)/φ(X)=3exp(-X2)，则 模拟结果为0.8704,软件算得结果为0.8862. 例3 赶火车 问题分析： 解决实际问题，需要将问题符号化与数学化。这个转化有的很明显，较容易；有的则不然，需要一定的技巧.转化的原则是模型与问题在本质上等价。当转化有多种方式时，我们选最简单的一种。 对于问题，赶上火车的可能性就是概率。显然，对问题来说所求概率一定存在，但却不易求得。从应用上讲，知道概率的近似值就够了，这就用上频率。我们的做法相当于仿真：假想这个人按题设条件不断的赶往开到B站的火车，计算他赶上的频率。 但对于火车在1点离开A站的概率是0.7 该怎么处理？我们给一个最简单的随机变量： X~U(0,1)，则P(0X0.7)=0.7。这样，我们产生一个服从U(0,1) 分布的随机数X，若它满足0X0.7，我们就认为火车在13：00离开A站。对于火车以0.2的概率13：05离开A站，虽然P(0X0.2)=0.2，但我们不能用，因为这会产生火车同时以 13点与13：05离开的情形（两个事件相容），为此，我们用P(0.7X0.9)=0.2，对13：10离开，我们用P(0.9X)=0.1，其余类似。模拟见程序 评注 蒙特卡罗方法适应于随机性问题，对于非随机性问题，必须将它转化为随机问题。蒙特卡罗方法的优点是程序结构简单，计算复杂性不随对象复杂度的增加而增加，缺点是近似解的精度不高，误差具有随机性，不易估计。蒙特卡罗方法应在其他方法难以求解的时去用；当然，还要求该方法此时适合用。 四 排队论简介 1 到银行取钱，发现前面有几十个人在排着队，你掉头就走：不能忍受啊！怎么不多开几家银行、再增加几个服务窗口啊！ 假如你是工作人员，你觉得应根据什么来决定是否需要开设新的银行或增加新的服务窗口——要知道一次的排队人多会具有偶然性的！ 2 银行一般都有几个服务窗口，过去是顾客每个窗口分别排队等待服务，而现在几乎都改为叫号制，这相当于多个窗口只排一队。银行为什么要这么做? 有什么