专题训练 蚂蚁爬行最短路径(含解答).doc

蚂蚁爬行的最短路径 1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10． 回答下列问题：（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻． 解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0；（2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒 2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是 . 解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线． AB= ． 3．（2006?茂名）如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是 cm 4 ． 解：由题意得，从点A沿其表面爬到点B的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4． 4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是（ ） A．A?P?B B．A?Q?B C．A?R?B D．A?S?B 解：根据两点之间线段最短可知选A．故选A． 5．如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（　　） 解：如图，AB= ．故选C． 6． 正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（　　） 解：展开正方体的点M所在的面，∵BC的中点为M，所以MC= BC=1，在直角三角形中AM= = ． 7．如图，点A与点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走最短路程是 cm。 解：将盒子展开，如图所示：AB=CD=DF+FC= EF+ GF=×20+×20=20cm．故选C． 8. 正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为 . 解：将正方体展开，连接M、D1， 根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3， MD1= ． 9．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用 2.52.5秒钟． 解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB= = cm；（2）展开底面右面由勾股定理得AB= =5cm；所以最短路径长为5cm，用时最少：5÷2=2.5秒． 10．（2009?恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 。 解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB= =25． 11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 . 解：正面与上面沿A1B1展开如图，连接AC1，△ABC1是直角三角形， ∴AC1= 12．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。 解：由题意得，路径一：AB= = ；路径二：AB= =5；路径三：AB= = ；∵ ＞5，∴5米为最短路径． 13．如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求：（1）蚂蚁经过的最短路程；（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程． 解：（1）AB的长就为最短路线．然后根据　若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为 （cm）；若蚂蚁沿侧面与底面爬行，则经过的路程为 （cm），或 （cm）所以蚂蚁经过的最短路程是 cm．（2）　5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm，最长路程是30cm． 14．如图，在一个长为50cm，宽为40cm，高为30cm的长方体盒子的顶点A处有一只蚂蚁，它要爬到顶点B处去觅食，最短的路程是多少？ 解：图1中， cm．图2中， cm．图3中， cm．∴采用图3的爬法路程最短，为 cm 15．如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，8cm，4cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的