成才之路人教A版数学必修11.3 函数基本性质.ppt

1.3　函数的基本性质 1.3.1　单调性与最大(小)值 1.观察函数y＝x2的图象可见，当x≥0时，图象是上升的，称此函数在[0，＋∞)上为增函数，当x≤0时，图象是下降的，称此函数在(－∞，0]上为 函数． 2.一般地，设f(x)的定义域为I，如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有 ，那么就说f(x)在这个区间D上是增函数．,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有 ．那么就说f(x)在这个区间D上为减函数． 如果函数y＝f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间D上具有 ．区间D叫做函数f(x)的单调区间． (1)如图，已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象(包括端点)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数还是减函数． [解析]　函数f(x)的单调区间有[－2，－1]，[－1，0]，[0,1]，[1,2]．,在区间[－2，－1]，[0,1]上是减函数． 在区间[－1,0]，[1,2]上是增函数． 函数g(x)的单调区间有[－3，－1.5]，[－1.5，1.5]，[1.5,3]． 在区间[－3，－1.5]，[1.5,3]上是减函数，在区间[－1.5,1.5]上是增函数． (2)我们已知反比例函数y＝ 的图象如图，它在区间(－∞，0)与(0，＋∞)都是减函数，能否说它在定义域上是减函数？为什么？ [解析]　不能．显然x1＝－1，x2＝1时，满足x1x2，但y1＝－1，y2＝1，y1y2不成立． 3．用单调性定义证明： (1)f(x)＝2x＋1在R上为增函数． (2)f(x)＝ 在(－∞，0)上为减函数． 并概括用定义证明函数单调性的步骤． (1)设x1、x2∈R，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝(2x1＋1)－(2x2＋1)＝2(x1－x2)0， ∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在R上为增函数． 本节重点：函数单调性的概念及证明． 本节难点：用定义证明函数的单调性与求函数的单调区间． 1．函数的单调性是对某个区间而言的，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调．因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以，写单调区间时，一般写成闭区间．但必须注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点． 2．若f(x)的定义域为D，A?D，B?D，f(x)在A与B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减． [例1]　据下列函数图象，指出函数的单调增区间与单调减区间． [解析]　由图象(1)知此函数的增区间为(－∞，2]，[4，＋∞)，减区间为[2,4]． 由图象(2)知，此函数的增区间为(－∞，－1]、[1，＋∞)，减区间为[－1,0)、(0,1]. [例2]　求证函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数． [分析]　通过对f(x1)－f(x2)符号的判定而得结论． [例3]　已知y＝f(x)与y＝g(x)在区间A上均为增函数，判断下列函数在区间A上的增减性． (1)y＝－2f(x)　(2)y＝f(x)＋g(x) [分析]　利用函数单调性的定义判断 [解析]　(1)对任意x1，x2∈A，设x1＜x2， ∵f(x)为增函数，∴f(x1)－f(x2)＜0 ∴－2f(x2)－[－2f(x1)]＝2f(x1)－2f(x2) ＝2[f(x1)－f(x2)]＜0 ∴－2f(x2)＜－2f(x1)，∴y＝－2f(x)是减函数 (2)在区间A内任取两个值x1、x2，设x1＜x2， ∵y＝f(x)，y＝g(x)为增函数 ∴f(x2)－f(x1)＞0　g(x2)－g(x1)＞0 ∴[f(x2)＋g(x2)]－[f(x1)＋g(x1)] ＝[f(x2)－f(x1)]＋[g(x2)－g(x1)]＞0 ∴f(x2)＋g(x2)＞f(x1)＋g(x1) ∴y＝f(x)＋g(x)是增函数 [分析]　由定义作差f(x1)－f(x2)，通过a的不同取值对差的符号的影响进行讨论． 已知函数f(x)＝－x2＋(3a－1)x＋1－2a在区间(－∞，4]上是增函数，求实数a的取值范围． [分析]　二次函数的二次项系数小于0，其图象开口向下，因而只要区间(－∞，4]在对称轴的左侧，即可满足题设要求． [点评]　解决此类问题，首先搞清二次项系数的正负，确定开口方向，然后，考虑单调区间应在对称轴左侧还是右侧． *[例5]　画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间． [分析]　函数解析式中含有绝对值号，因而需先去掉绝对值号写成分段函数形式，然后，逐段画图．根据图象指出单调区间． [解析]　y＝－x2＋2|x|＋3 函数图象如