5.切线的判定与性质 复合题.doc

5.切线的判定与性质 第1题. （2008安徽省芜湖，12分）在Rt△ABC中,BC=9, CA=12,∠ABC的平分线BD交AC与点D, DE⊥DB交AB于点E. (1)设⊙O是△BDE的外接圆,求证:AC是⊙O的切线; (2)设⊙O交BC于点F,连结EF,求的值. (1)证明： (2)解: 答案：(1) 证明:由已知DE⊥DB,⊙O是Rt△BDE的外接圆，∴BE是⊙O的直径,点O是BE的中点,连结OD, ………………………………1分 ∵,∴. 又∵BD为∠ABC的平分线,∴. ∵,∴. ∴,即∴.………………………………4分 又∵OD是⊙O的半径, ∴AC是⊙O的切线. ………………………………5分 (2) 解:设⊙O的半径为r, 在Rt△ABC中, , ∴.………………………………7分 ∵,,∴△ADO∽△ACB. ∴.∴. ∴.∴.………………………………10分 又∵BE是⊙O的直径.∴.∴△BEF∽△BAC ∴.………………………………12分 第2题. （2008北京市，5分）已知：如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与分别交于点，且． （1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论； （2）若，，求的长． 解：（1） （2） 答案：解：（1）直线与相切． 1分 证明：如图1，连结． ， ． ， ． 又， ． ． 直线与相切． 2分 （2）解法一：如图1，连结． 是的直径， ． ， ． 3分 ，， ． 4分 ， ． 5分 解法二：如图2，过点作于点． ． ， ． 3分 ，， ． 4分 ， ． 5分 第3题. （2008福建省福州市，11分）如图，是的直径，是弦，，延长到点，使得． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 答案：（1）证法一：如图，连接． ， ． 又， ，即． 是的切线． 证法二：如图，连接． ， ． 又， ． ，即． 是的切线． （2）解：由（1）可得：是等腰直角三角形． ，是直径， ． ． ． 第4题. （2008福建省三明市，10分）如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任意一点，∠ECF＝45°，CF交AD于点F，将 绕点C顺时针旋转到，点P恰好在AD的延长线上． （1）求证：EF＝PF；（5分） （2）直线EF与以C为圆心，CD为半径的圆相切吗？为什么？（5分） 解： 答案：解：（1）在正方形中，， 依题意是绕点旋转得到， ， 2分 ， ． ． 又， ． ． 5分 （2）相切． 6分 理由：过点作于点． 由（1）得，，． 8分 又，，． 直线与以为圆心，为半径的圆相切． 10分 第5题. （2008福建省厦门市，10分）已知：如图，中，，以为直径的交于点，于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值． 答案：（1）证明：， ． 1分 又， 2分 ． 3分 4分 又于，， ． 5分 是的切线． 6分 （2）连结，是直径， ， 8分 ，， ． 9分 ． 10分 第6题. （2008甘肃省兰州市，10分）如图，四边形内接于，是的直径，，垂足为，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 答案：（1）证明：连接，平分，． ．． ． 3分 ，． ． 是的切线． 5分 （2）是直径，． ， ． 6分 平分，． ． 8分 在中，． 在中，． 的长是1cm，的长是4cm． 10分 第7题. （2008广东省肇庆市，10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点， ⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E. 求证AE=CE； EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F， 若CD=CF=2cm，求⊙O的直径； （3）若 （n0），求sin∠CAB. 答案：证明：（1）连接DE，∵∠ABC=90°∴∠ABE=90°， ∴AE是⊙O直径． （1分） ∴∠ADE=90°，∴DE⊥AC． （2分） 又∵D是AC的中点，∴DE是AC的垂直平分线． ∴AE=CE． （3分） （2）在△ADE和△EFA中， ∵∠ADE=∠AEF=90°，∠DAE=∠FAE， ∴△ADE∽△EFA． （4分） ∴， ∴． （5分） ∴AE=2cm． （6分） （3） ∵AE是⊙O直径，EF是⊙O的切线，∴∠ADE=∠AEF=90°， ∴Rt△ADE∽Rt△EDF．　　　∴． （7分） ∵，AD=CD，∴CF=nCD，∴DF=（1+n）CD， ∴DE=CD． （8分） 在Rt△CDE中，CE=CD+DE=CD+（CD） =（n+2）CD． ∴CE=CD． （9分） ∵∠CAB=∠DEC，∴sin∠CAB=sin∠DEC ===． （10分） 第8题. （2008湖北省恩施自治州，9分）如图，是的直径，是的弦，延长到点，使，