22.2 一元二次方程根与系数的关系.pptx

科科中学 吴淑珍 （1）一元二次方程的一般形式是什么 ax2+bx+c=0(a≠0) （2）一元二次方程的根的判别式是什么 （3）一元二次方程的求根公式是什么 回顾 1.     填表，观察、猜想 方程 x1,, x2 x1,+ x2 x1. x2 x2-2x+1=0 x2+3x-10=0 x2+5x +4=0 问题：你发现两根之和与两根之差与一元二次 方程的系数有什么规律了吗？ ①用语言叙述你发现的规律； ② x2+px+q=0的两根x1,, x2用式子表示你发现 的规律。 1,1 2,-5 -1,-4 2 -3 -5 1 -10 4 根与系数关系 如果关于x的方程 的两根是 , ,则: 如果方程二次项系数不为1呢? 方 程 x1,, x2 x1,+ x2 x1. x2 2x2-3x-2=0 3x2-4x+1=0 问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律； ①用语言叙述发现的规律； ② ax2+bx+c=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规 律： 若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1、x2 根与系数关系 学习主题 探 究 所 得 结 论 的 证 明 设x1、x2为方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根， 证明： 证 明 过 程 利用求根公式证明： 一元二次方程根与系数的关系 推论1 推论2 韦达定理 一元二次方程的根与系数的关系 16世纪法国最杰出的数学家韦达发现 代数方程的根与系数之间有这种关系，因此,人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。因此，他获得了“代数学之父”之称。 1.求下列方程的“两个根之和”与“两个根之积”： (1) x2＋x－2＝0； (2) x2＋4x＝2； (3) x2－3x－12＝0； (4) x2＋4x＋10＝1－8x. 练一练· (4) x2+12x＋9＝0. -1,-2 -4,-2 3,-12 -12,9 2.说出下列各方程的两根之和与两根之积： 1、 x2 - 2x - 1=0 2、 2x2 - 3x + =0 3、 2x2 - 6x =0 4、 3x2 = 4 x1+x2=2 x1x2=-1 x1+x2= x1+x2=3 x1+x2=0 x1x2= x1x2=0 x1x2= - 练一练· 一元二次方程根与系数关系的应用 一、验根。 √ √ × × 例1 已知方程 的一个根是2，求它的另一个根及k的值。 二、已知方程一根，求另一根。 5x2-7x+k=0 5x2+kx-6=0 例2 不解方程，求方程 的两个根的 （1）平方和 （2）倒数和 三、已知方程求某些代数式的取值 2x2+5x-7=0 2x2+3x-1=0 若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1、x2 根与系数关系 （１）x12+x22 = （x1+x2）2 - 2x1.x2 （３）（x1－x2）2 = （x1+x2）2 – ４x1.x2 (4) (5) (6) 1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。 解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 解得k1=9,k2= -3 当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。 综合提高 创新应用 2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。 解：由方程有两个实数根，得 即-8k+4≥0 由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4 解得k1=0 , k2=4 经检验， k2=4不合题意，舍去。 ∴ k=0 综合提高 创新应用 课堂总结 一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系： 1.P42 第6题 作业： 2.已知关于x的方程