22.2.4_一元二次方程的根与系数的关系.ppt

题1　口答 求一个一元二次方程，使它的两个根分别为 1）2和3 2）-4和7  3）3和-8 4）-5和-2 1) (x-2)(x-3)=0 新课讲解 如果方程x2+px+q=0有两个根是x1,x2 那么有x1+ x2=-p, x1 ?x2=q. 设x1 、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根， 题9：已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1,x2,问是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由. 求未知系数的取值范围 例题11:已知关于x的方程9x2+(m+7)x+m-3=0. (1)求证:无论m取何值时,方程总有两不相等的实数根. (2)当m取何值时,方程的一根大于1,另一根小于1? * * * * * * * * 22.2.4 一元二次方程的 X2-5x+6=0 X2-3x-28=0 3) (x-3)(x+8)=0 X2+5x-24=0 4) (x+5)(x+2)=0 2) (x+4)(x-7)=0 X2+7x+10=0 问题1： 从求这些方程的过程中你发现根与各项系数之间有什么关系？ 基本知识 猜想：2x2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积 是与各项系数之间有什么关系？ X2=1 解得：x1= 所以得到, x1+x2= X1 ?x2= X2= ∴x1+x2= + = = x1?x2= ? = = = 则x1= 问题2；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？ 如果一元二次方程 的两个根分别是 、 ，那么： 这就是一元二次方程根与系数的 关系，也叫韦达定理。 韦达（1540—1603） 16世纪法国最杰出的数学家韦达发现代 数方程的根与系数之间有种关系，因此,人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。因此，他获得了“代数学之父”之称。 如果一元二次方程 的两个根分别是 、 ，那么： 这就是一元二次方程根与系数的 关系，也叫韦达定理。 你能用语言描述一下两根之和与两根之积和相应方程的各项系数有什么关系吗 一元二次方程根与系数的关系 (韦达定理） 推论 在使用根与系数的关系时，应注意： ⑴不是一般式的要先化成一般式； ⑵在使用X1+X2=－ 时， 注意“－ ”不要漏写。 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1、x2 则 x1+x2= x1·x2= 一元二次方程根与系数关系的应用 （1）验根。 （口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根。 ③ ② ① ④ √ √ × × 练习1 已知关于x的方程 当m= 时,此方程的两根互为相反数. 当m= 时,此方程的两根互为倒数. －1 1 分析:1. 2. 4 1 14 12 题３ 则： ＝ ＝ 应用：一求值 另外几种常见的求值 求与方程的根有关的代数式的值时, 一般先将所求的代数式化成含两根之和, 两根之积的形式,再整体代入. 练习2 设 的两个实数根 为 则: 的值为( ) A. 1 B. －1 C. D. A 以 为两根的一元二次方程 (二次项系数为1)为: 二　已知两根求作新的方程 题4. 点p(m,n)既在反比例函数 的 图象上, 又在一次函数 的图象上, 则以m,n为根的一元二次方程为(二次项系数为1):