23 均差与牛顿插值公式.ppt

2.3 均差与牛顿插值公式 2.3.3 牛顿插值公式 2.3.4 差分形式的牛顿插值公式 * 2.3.1 插值多项式的逐次生成 问题：利用插值基函数得到的拉格朗日插值多项式有何优缺点？ 优点：结构紧凑，便于理论分析，易于编程求解。 缺点：当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化. 问题：如何改进？ （3.1） 其中 为待定系数， 确定 . 为了克服这一缺点，可把插值多项式表示为如下便于 计算的形式: 可由 个插值条件 此时 可看成是由基函数 逐次递推得到的. 由 ， 当 时， 当 时， 依此递推可得到 . 当 时， 推得 推得 由 易知: 为 的二阶均差. 称 为函数 关 定义2 一般地，称 为 的 阶均差 （均差也称为差商）. 2.3.2 均差及其性质 于点 的一阶均差.称 均差有如下的基本性质： 这个性质可用归纳法证明. 1° 阶均差可表示为函数值 的线 性组合， 这性质也表明均差与节点的排列次序无关，称为均差 的对称性. 即 3° 若 在 上存在 阶导数，且节点 这公式可直接用罗尔定理证明. 2° 由性质1°及均差定义可得 即 则 阶均差与导数关系如下： 均差计算可列均差表如下（表2-1）. 根据均差定义，把 看成 上一点， 可得 只要把后一式代入前一式，就得到 其中 显然， 由前式确定的多项式 满足插值条件， 且次数不超过 ， 称 为牛顿（Newton）均差插值多项式. 系数 就是均差表2-1中加横线的各阶均差，它比拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计. 其系数为 它就是形如（3.1）的多项式， 但其更有一般性，它对 是由离散点给出的情形或导数不存在时也是适用的. 由插值多项式惟一性知，此处的插值余项，与拉格朗日插值多项式的余项应该是等价的. 牛顿插值多项式的优点还在于它的递进性，当增加 插值节点时，只要在原来插值多项式的基础上增加一项 即可. 解 首先根据给定函数表造出均差表 给出 的函数表（见表2-2），求3次牛顿插 值多项式，并由此计算 的近似值. 例1 27 9 3 1 3 2 1 0 2 6 9 2 4/3 6 18 27 3 2 3 1 1 0 三阶均差 二阶均差 一阶均差 首先根据给定函数表造出均差表. 给出 的函数表（见表2-2），求4次牛顿插 值多项式，并由此计算 的近似值. 例2 于是 按牛顿插值公式，将数据代入 截断误差 这说明截断误差很小，可忽略不计. 实际应用时经常遇到等距节点的情形，这时插值公式 可以进一步简化，计算也简单得多. 设函数 在等距节点 上 的值 为已知，这里 为常数，称为步长. 为了得到等距节点的插值公式，先介绍差分的概念. *