3.5 条件分布——概率论与数理统计,王松桂、程维虎等,科学出版社.ppt

第三章第五节 条 件 分 布 一、条件分布的概念 在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 . 在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率 推广到随机变量 设有两个r.v. X, Y ， 在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布. 这个分布就是条件分布. 例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以X和Y 表示其体重和身高 . 则X和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布. 体重X 身高Y 体重X 的分布 身高Y 的分布 现在若限制1.7Y1.8(米), 在这个条件下去求X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布. 容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布会很不一样. 例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著增加 . 一、离散型r.v.的条件分布 实际上是第一章讲过的条件概率概念在另一种形式下的重复. 定义1 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j，若P(Y=yj)0，则称 为在Y=yj条件下随机变量X的条件概率分布. P(X=xi|Y=yj)= ，i=1,2, … 作为条件的那个r.v.,认为取值是 给定的，在此条件下求另一r.v.的 概率分布. 条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质. 正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质. 例如： i=1,2, … 若P(X=xi)0，则称 P(Y=Yj|X=xi)= ，i=1,2, … 为在X= xi条件下随机变量X的条件概率分布. 解: 例 1 求书中例3.2.1中Y的条件分布. 书中3.4.1中已求出X的边缘分布(见上表). 在 X=0 的条 件下 (2)X=1 条件下 解: 例 2 求例3.2.2中被调查者吸烟的条件下得肺癌的概率和不吸烟的条件下得肺癌的概率. 二、连续型r.v.的条件分布 设(X,Y)是二维连续型r.v，由于对任意 x, y, P(X=x)=0, P(Y=y)=0 ，所以不能直接用条件概率公式得到条件分布，下面我们直接给出条件概率密度的定义. 定义2 设X和Y的联合概率密度为 f (x,y), 边缘概率密度为 ，则对一切使 的x , 定义已知 X=x下，Y 的条件 密度函数为 同样，对一切使 的 y, 定义 为已知 Y=y下，X的条件密度函数 . 我们来解释一下定义的含义： 将上式左边乘以 dx , 右边乘以 (dx dy)/dy即得 以 为例 换句话说，对很小的dx和 dy， 表示已知 Y取值于y和y+dy之间的条件下，X取值于x和x+dx之间的条件概率. 运用条件概率密度，我们可以在已知某一随机变量值的条件下，定义与另一随机变量有关的事件的条件概率. 定义在已知 Y=y下，X的条件分布函数为 特别，取 即: 若(X,Y)是连续型r.v, 则对任一集合A， 求 P(X1|Y=y) 例3 设(X,Y)的概率密度是 解: P(X1|Y=y) 为此, 需求出 由于 于是对y0, 故对y0, P(X1|Y=y) 例4 设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率 密度为 求 解：X的边缘密度为 当|x|1时,有 即 当|x|1时,有 X作为已知变量 这里是y的取值范围 X已知下Y 的 条件密度 请看演示 条件分布 前面，我们已经知道，二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布. 可以证明，对二维正态分布，已知 X=x下，Y 的条件分布，或者已知 Y=y下，X的条件分布都仍是正态分布. 留作练习. 二维正态分布 再看 解: 例 5 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为: 求:条件概率密度和条件概率： ∴ y?(0,1] 时 fY(y)0 转下页 ∴ x?(-1,1) 时 fX(x)0 例 6 设店主在每日开门营业时,放在柜台上的货物量为Y,当日销售量为X,假定一天中不再往柜台上补充货物,于是X≤Y.根据历史资料,(X,Y)的概率密度函数为 求:(1).给定Y=y条件下,X的条件概率密度. (2).假定某日开门时,Y=10件,求这天顾客买走X≤5件的概率. (3).如果Y=20件呢? * * * *