3.5高阶方程的可积类型.ppt

3.5 高阶微分方程的几种可积类型 n阶方程的一般形式;;解法 在方程;特别，当k=n时，方程（3.5.1）变成 （3.5.3） 若能写成 对它积分n次就可以得到原方程的通解。 例如，对于方程 令 代入方程，使其降阶为二阶方程;在方程 中，令 则方程变成 这是一个一阶线性方程，容易求出其通解为 代入原变量，有;积分两次，得原方程的解为 对于方程 直接积分三次，得方程的通解; 例3.5.1 求解微分方程 ;例3.5.2 悬链线方程 如图3.5.1,有一根完全柔软的质量均匀的线，悬挂在A,B两点 ，在重力作用下处于平衡状态，试求这曲线的方程式。 解 这个问题是历史上的一个名题，最初是在1690年由James Bernoulli提出来的，Galileo等人曾猜想这条曲线是抛物线，但后来发现不对，最后是由John Bernoulli解出来的。Leibniz把它定名为悬链线。它在工程上有着重要应用，下面我们来求它的方程。;设;再看PQ在垂直方向上的平衡条件，有 ;分离变量，得 ;代入到y的表达式中，得到 ;图3.5.1; 因为 ;于是悬链线的方程近似为 ;第二种可降阶类型;这是关于新未知量的一个一阶方程，如果 可以求出它的通解为 ;例 求解微分方程 解 令 则 代入方程，得 积分得 即;分离变量有 积分，得 其中b为任意常数。于是有 或 其中 为任意常数。; 例3.5.3 求解下列初值问题 ;这是一个一阶线性方程，可以求出其解为 ; 例3.5.4 设地球的质量为M, 万有引力常数 为G，地球半径为R, 今有一个质量为m的 火箭，由地面以初速度;于是得到方程 ;或 ;第三种可积类型----恰当导数方程 如果方程 （3.5.12） 的左端恰好是某一函数 对x的导数，即（3.5.12）方程可以写成 则称（3.5.12）为恰当导数方程。;例如 求解方程 解 因为 所以原方程可以写成 故 积分得;例2 求解方程 解 由于 在方程两边同乘不为零的因子 原方程变成 再分离变量积分，得原方程的通解