3_信号与系统_第三章 - 复习.ppt

《Signals and Linear Systems》 * 虽然我们套用了傅里叶级数的公式，求出了级数系数，但这个例子在傅里叶时代是受争议的，因为方波是一个不连续的周期信号，而傅里叶级数的每个谐波分量都是连续的正弦信号，不连续的信号能用连续谐波分量组合表示么？ 欧拉和拉个朗日当时都是反对意见，但傅里叶坚持”任何信号都能用傅里叶级数表示“ 实际上，傅里叶坚持的并不完全正确，虽然傅里叶级数确实能够表示象方波这样的不连续周期信号。那么到底在什么条件下，信号才可以用傅里叶级数表示呢，狄里赫利解决了这个问题。 重点一 周期信号的傅里叶级数 傅里叶系数 三角形式 傅里叶级数 合并同频率的两项得到 —直流分量(零次谐波)，即f(t)在一个周期内的平均值 — 基波分量(一次谐波)，角频率与f(t)相同? — 二次谐波分量，角频率为基波频率的2倍 — n次谐波分量，角频率为基波频率的n倍 任何一个满足狄里赫利条件的周期信号都可以分解成一个直流分量和许多谐波分量之和 所以将周期信号f(t)在虚指数函数集 {ejn?t, n=0, ?1, ? 2, ?3， …}上展开就可得到指数形式的傅里叶级数。信号分析时往往用此形式。 注意: 系数为复数 指数形式 例1： T1 -T1 T/2 T -T -T/2 解： 常用性质（用于求解较复杂信号的傅里叶级数） 例：求图示周期锯齿波信号的傅里叶级数 f(t) t 0 T 2T 3T -T 1 解：可定义直接求解，也可利用傅里叶性质3求解： t 0 T 2T 3T -T t 0 T 2T 3T -T 1/T (-1) (-1) (-1) (-1) (-1) 1，定义式 2，指数形式与三角形式的关系 3，利用性质求出较复杂信号的级数（常用微积分性质） 4，可据其一个周期内的信号求傅立叶变换后求级数（P91. 3-86） 周期信号傅里叶级数的求解总结 重点二 频谱 f(t) t 3 5 0 1 -1 -3 2 例：试将图示周期方波信号f(t)展开为傅立叶级数，画出其单边和双边振幅频谱图和相位频谱图，并求该信号的占有频带Bw . 解：方法一(按定义计算) 方法二(利用微分性质，通过右图计算) f(t) t 0 (1) 2 (1) (1) (-1) -3 3 -1 (-1) f(t) t 3 5 0 1 -1 -3 2 |An| nw 0.67 0.55 0.28 0.14 0.11 0 2π 3 4π 3 2π 4π |Fn| nw 0.67 0.28 0.14 0.07 0.055 0 2π 3 4π 3 2π 4π -2π 3 -4π 3 -2π 0.28 0.14 0.07 0.055 双边频谱 单边频谱 由图易知带宽：Bw= 2? 单边相位频谱 双边相位频谱 ?n nw 2π 0 -π 3 -2π 3 2π 3 4π 3 8π 3 4π -2π π 3 2π 3 -4π ?n nw 2π 0 -π 3 -2π 3 2π 3 4π 3 8π 3 4π 重点三 非周期信号傅里叶变换 频谱函数 对应关系记为 f(t)←→F( jw) 傅里叶反变换 傅里叶正变换 F(jw)-频谱密度函数 重点四 周期信号的傅里叶变换 一、常见周期信号傅里叶变换 1．复指数信号 |F( jw)| w 0 (2?) wo 2．余弦、正弦信号 F1( jw) w 0 (?) wo (?) -wo Im[F2( jw)] w 0 (-?) wo (?) -wo 3．单位冲激序列信号 f(t) t 0 (1) (1) (1) (1) (1) … … T 2T -T -2T F( jw) w 0 ? (?) - ? (?) (?) (?) (?) … … 2 ? -2 ? 结论：时域周期T的单位冲激序列，其傅立叶变换是周期的冲激序列，且周期和冲激强度均为?。 4. 一般的周期(T)信号 求法一： 求法二： 例：用方法二求周期信号f(t)的频谱函数 (周期T=2) 解： 2 -2 - 0.5 0.5 t f ( t ) 1 图示两信号可知： 求其Fn 傅里叶级数和傅里叶变换的关系 求其F(j?) 对于周期信号，可据其一个周期内的信号求傅立叶变换后求级数；反之可利用级数求傅立叶变换。 比较上面两式可知Fn与F(j?)的关系： 《Signals and Linear Systems》 * 虽然我们套用了傅里叶级数的公式，求出了级数系数，但这个例子在傅里叶时代是受争议的，因为方波是一个不连续的周期信号，而傅里叶级数的每个谐波分量都是连续的正弦信号，不连续的信号能用连续谐波分量组合表示么？ 欧拉和拉个朗日当时都是反对意见，但傅里叶坚持”任何信号都能用傅里叶级数表示“