3学分,第4章刚体力学.ppt

* 第四章 刚 体 力 学 4.1 刚体运动学 4.1.1 刚体： 在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体 . 4.1.2 刚体的基本运动形式： （1）平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线在各时刻总是平行. 刚体平动 质点运动 （2）转动： 定轴转动、定点转动 定轴转动: 转轴在所选参考系中固定不动的转动 刚体的一般运动 质心的平动 绕质心的转动 + 转 动 平 面 参考方向 4.1.3 描述刚体定轴转动的物理量 特征：刚体中所有的质点具有相同的 角位移、角速度、角加速度 角位移?? 角速度 角加速度 图4-3线速度和角速度之间的矢量关系 P * O 力 作用在刚体上点 P , 且在转动平面内 对转轴 Z 的力矩 4.2.1 力矩 4.2 刚体的定轴转动定律 O 若力 不在转动平面内 合力矩等于各分力矩的矢量和 竿子长些还是短些较安全？ 非专业训练，请勿模仿 4.2.2 刚体绕定轴转动的角动量定理 质元P 对Z 轴的角动量为 刚体绕定轴转动的角动量 (刚体绕定轴转动的角动量) 刚体的转动惯量 刚体对某转轴的转动惯量 J 等于刚体内每个质点的质量与这个质点到该转轴垂直距离平方乘积之和。 4.2.3 转动惯量的计算 1 刚体由分离质点组成： 2 组成刚体的质点为连续分布： 为质元到转轴之间的垂直距离 例1 计算质量为m，长为l 的细棒绕一端的转动惯量。 o x z 解： dx dm x O O′ O C O 平行轴定理 质量为 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为 ，则对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量 在圆环上任取质量为dm 的线元 解： 试求一质量为m，半径为R的均质细圆环对通过其中心且垂直于环面的转轴的转动惯量。 例2 例3 一质量为 、半径为 的均匀圆盘，求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 . O R O 圆环质量 圆环对轴的转动惯量 在某一时间段内，作用在刚体上的 冲量矩等于刚体的角动量增量。 由质点系的角动量定理，可得 刚体对定轴的角动量定理： 4.2.4 刚体定轴转动的角动量定理 或 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比 ，与刚体的转动惯量成反比 . 转动定律 竿子长些还是短些较安全？ 竿子长些还是短些较安全？ 非专业训练，请勿模仿 力矩对刚体所作的功： 4.3 刚体定轴转动中的功和能 力 在元路程ds上的元功 角位移dq，元路程ds，元位移 4.3.1 力矩作功 ?mi 第i个质元的动能： 4.3.2 刚体定轴转动的动能 整个刚体的转动动能： 4.3.3 刚体定轴转动的动能定理 4.3.4 刚体的重力势能 例 一质量为m0 ，半径R的圆盘，盘上绕有细绳，一端挂有质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度为多大？ mg m m0 m 解： 解得 FT 例 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速率 作匀速转动．放上唱片后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转动．设唱片的半径为R，质量为m，它与转盘间的摩擦系数为 ，求：(1)唱片与转盘间的摩擦力矩； (2)唱片达到角速度 时需要多长时间；(3)在这段时间内，转盘的驱动力矩做了多少功？ R r dr dl o 解 (1) 取面积元ds = drdl，该面元所受的摩擦力为 此力对点o的力矩为 在宽为dr的圆环上，唱片所受的 摩擦力矩为 (3) 由 可得在 0 到 t 的时间内，转过的角度为 (2) 由转动定律求 ，(唱片J=mR2/2) 驱动力矩做的功为 由 可求得 4.4 刚体定轴转动的角动量守恒定律 讨论： 刚体所受的合外力矩等于零时，刚体的角动量保持守恒。 圆锥摆 子弹击入杆 以子弹和杆为系统 机械能不守恒 . 角动量守恒； 动量不守恒； 以子弹和沙袋为系统 动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 . 圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒 . 讨 论 子弹击入沙袋 细绳质量不计 例 一长为l，质量为m0的杆可绕支点O自由转动。一质量为m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。若棒偏转角为30°。问子弹的初速度为多少。 解： 角动量守恒： 机械能守恒： o a l v 30° 例 长为 l 的均质细直杆OA，一端悬于O点铅直下垂，如图所示。一单摆也悬于O点，摆线长也为l，摆球质量为m。现将单摆拉到水平位置后由静止