4_3协方差与相关系数.ppt

《概率统计》 下页 结束 返回 《概率统计》 下页 结束 返回 复 习 σ2 1/ λ2 (b-a)2/12 λ npq pq D（X） μ 1/ λ (a+b)/2 λ np p E（X） N(μ,σ2) E(λ) U(a,b) P(λ) B（n,p) 0 - 1 分布 D(X) = E{[X – E ( X )]2} 1.方差的定义与计算 3.常见分布的期望与方差 2.D(X)的性质(…) ò +￥ ￥ - - = dx x f X E x X D ) ( )] ( [ ) ( 2 下页 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，就是本讲要讨论的“协方差和相关系数”. §4.3 协方差和相关系数 下页 如何描述两个随机变量之间的关系? 若(X,Y)的全部可能取值坐标如图a,b,c, X与Y的关系各是什么? 下页 下页 1.定义 若E[X-E(X)][Y-E(Y)]存在，则称其为随机变量X与Y的协方差。记为Cov（X，Y）即 Cov(X,Y) = E[X-E(X)][Y-E(Y)] 协方差 Cov(X,Y) = 2.协方差的计算 一.协方差 离散型随机向量 其中P{X=xi ,Y=yj}=pij i,j=1,2,3,…. 连续型随机向量 Cov(X,Y) Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可见，若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 . 3. 计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质，可得 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y) 即 下页 = E[XY - E(X)Y - E(Y)X + E(X)E(Y)] 例1. 求Cov(X,Y) Y 1 2 3 1 0 1/6 1/12 2 1/6 1/6 1/6 3 1/12 1/6 0 X 1/2 1/4 1/4 ? ? ? 解： E(X) = 2 , E(Y) = 2； Cov(X,Y) = 23/6 – 4 = － 1/6 ; E(XY) = 下页 若X1,X2, …,Xn两两独立,，上式化为 (2) D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y) 4. 随机变量的方差与协方差的关系 下页 (1) Cov(X,X)= D(X) 5. 协方差的性质 （4） 当X与Y相互独立时，有 Cov(X,Y) = 0 （1） Cov(X ,Y) = Cov(Y , X) （2） Cov(aX ,bY) = ab Cov(X ,Y), a,b 为常数 （3） Cov(X1+X2 , Y) = Cov(X1 ,Y) + Cov(X2 ,Y) 例2．已知D(X)= 2，D(Y)= 4，Cov(X,Y)= -2，求 3X-4Y+8 的方差。 解： D(3X-4Y+8 )=D(3X) + D(4Y) - 2Cov(3X,4Y) = 9D(X) + 16D(Y) –24Cov(X,Y) = 18 + 64 + 48 = 130 若X，Y相互独立， D(3X-4Y+8 ) = D(3X) + D(4Y) = 82 下页 由协方差的性质(2)知,协方差取值的大小要受到量纲的影响, 为了消除量纲对协方差值的影响,我们把X,Y标准化后再求协方差 下页 二. 相关系数（标准协方差） 1.定义 对于随机变量X和Y,若D（X)≠０,D（Y)≠０,则称 为随机变量X和Y的相关系数。（标准协方差） 当ρXY = 0时 , 称X与Y不相关。 ２.性质 （1）|ρXY| ≤ 1； （2）|ρXY| = 1当且仅当 P{Y=aX+b}=1 , 其中a, b为常数, a ≠0 。 相关系数ρXY 刻划了随机变量X和Y的线性相关程度。 下页 对应 的(X,Y). 下页 例3. 求ρXY 解： E(X) = 2 , E(Y) = 2； E(X2) = 9/2 , E(Y2) = 9/2； D(X) =1/2 D(Y) = 1/2 E(XY) = Cov(X,Y) = 23/6 – 4 = - 1/6 ; ? ? ?