5.5.4切线长定理公开课2.ppt

5.5-4 直线与圆的位置关系4 ——切线长定理 木工师傅为了测铁环的半径，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示，若三角板与圆相切且测得AP=3cm，从而求出铁环的半径． 数学来源生活 O P A 欲知其因，让我们一起来探究吧！ 3 建立数学模型 O P A 实物图 几何图 O P A B C 探究模型 （1）若连接OA与OB，那么OA与AP有什么位置关系？ （2）你PA与PB之间有什么关系？O在∠APB的角平分线上吗？说明理由。 O P A B C 模型一般化 （3）图形经过旋转等变换之后如右图，上述结 论还成立吗？ 60° O P A B C O A P B 方法一：使用直角三角板，探求画法。 O · P A B O 过圆外一点P怎样作圆的切线，能画几条？ 方法二：使用直尺和圆规，探求画法。 操作与思考 返回 模型概括 O A P B 若我们把P点和切点B之间的线段的长，称作做这点到圆的切线长。 你能用语言概括刚才发现的结论吗？ 切线长定理： 从圆外一点引圆的____切线，它们的___________，这点和圆心的连心线 ___________________ 两条 平分两条切线的夹角。 切线长相等 P O A B 切线长定理的拓展 　　 B O P A H D C 想一想：根据图形， 你还可以得到什么结论？ 切线长定理： 符号语言： ∵ PA、PB分别切⊙O于A、B. PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴ 反思：为证明线段相等、角相等提供新的方法 P A O B 已知：⊙O的半径为3厘米，点P和圆心O的距离为6厘米，经过点P和⊙O的两条切线，求这两条切线的夹角及切线长． 练习一 O F P E ⌒ 1 2 ⌒ 。 P B A O （3）连结圆心和圆外一点 （1）连结两切点 （2）分别连结圆心和切点 总结：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们连接哪些线段？ 基本图形 例1、已知，PA、PB、EF与⊙O的切于A、B、Q，已知PA=12cm，求△PEF的周长。 （2）若∠P=70°求∠EOF的度数 E A Q P F B O 12 70° （1）C△PEF=2PA=24 （2） ∠EOF = ∠AOB E A Q P F B O 思考：当切点Q在弧AB上运动时，问△PEF的周长、∠EOF的度数是否发生变化，请说明理由。 （1）C△PEF=2PA=24 （2） ∠EOF = ∠AOB E A Q P F B O 变1：当切点Q运动到优弧AB上运动时，若∠P=70° ,求∠EOF的度数。 图形演变 E A Q P F B O 变2：当切点Q运动到优弧AB上运动时， 若PE=9,EF=13 ,PF=14,求EA、PB、FQ. 若设AE=x，则 x 9-x 9-x 13-x 13-x x (9-x)+（13-x）=14 图形演变 E A Q P F B O 变3：当切点Q运动到优弧AB上运动时， 若PE=a,EF=b,PF=c,求AE(用字母a，b，c表示). 若设AE=x，则 x a-x a-x b-x b-x x （a-x）+（b-x）=c x = a+b-c 2 图形演变 E A Q P F B O 变3：若添加∠PEF=90°，上述结论还成立吗？若连接OA，OQ，OB，你有新发现吗？ x r内 = a+b-c 2 结论：直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和减去斜边的一半”. x = a+b-c 2 2、直角三角形的两边分别是6cm，8cm， 则其外接圆的半径为______。 2cm 1、三角形的三边分别是5cm，12cm，13cm ，则其外接圆的半径为______，内切圆的半径为_____。 6.5cm 小试牛刀 r外 = c 2 4cm或5cm r内 = a+b-c 2 或 ab a+b+c 例2.如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、BC是切线，点A、E、B为切点， AD=4 ，BC=9 (1)则CD=________, ∠DOC=______. (2)请用不同的方法求直径AB的长. O A B C D E 两种解法 。 P B A O （3）连结圆心和圆外一点 （1）连结两切点 （2）分别连结圆心和切点 总结：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们连接哪些线段？ 基本图形 1、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 2、切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。 A P O 。 B C D