6.1-2定积分的应用.ppt

例1. 一个单 求电场力所作的功 . 解: 当单位正电荷距离原点 r 时, 由库仑定律电场力为 则功的元素为 所求功为 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 例2. 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解: 建立坐标系如图. 在任一小区间 上的一薄层水的重力为 这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为 故所求功为 ( KJ ) 设水的密度为 (KN) 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 面积为 A 的平板 2、液体侧压力 设液体密度为 ? 深为 h 处的压强: 当平板与水面平行时, 当平板不与水面平行时, 所受侧压力问题就需用积分解决 . 平板一侧所受的压力为 ? ? 小窄条上各点的压强 例3. ? 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解: 建立坐标系如图. 所论半圆的 利用对称性 , 侧压力元素 端面所受侧压力为 方程为 一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 说明: 当桶内充满液体时, 小窄条上的压强为 侧压力元素 故端面所受侧压力为 奇函数 ( P350 公式67 ) 3、 引力问题 质量分别为 的质点 , 相距 r , 二者间的引力 : 大小: 方向: 沿两质点的连线 若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 . 例4 设有一长度为 l, 线密度为? 的均匀细直棒, 其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M, 该棒对质点的引力. 解: 建立坐标系如图. 细棒上小段 对质点的引力大小为 故垂直分力元素为 在 试计算 利用对称性 棒对质点引力的水平分力 故棒对质点的引力大小为 棒对质点的引力的垂直分力为 (L.P184) (L.P184) (L.P183) 典型P282 例1.24 根据学时安排, 若本次课只讲到此处, 则运行时点击按钮“小结”转向“内容小结”第一部分, 并根据情况运行后面的思考与练习题, 然后结束本次课. 比重现在不用了 过去: 1) 单位体积所受的重力 ; 2) 与水比的相对重量 一、建立积分表达式的微元法 二、定积分在几何上的应用 三、定积分在物理上的应用 第六章 定积分的应用 表示为 1、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 定积分定义 一个整体量 ; 一、建立积分表达式的微元法 2 、如何应用定积分解决问题 ? 第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的近似值——微分表达式，即任意分割区间[a,b]，任取一个子区间[x,x+dx]，求出U在该区间的微元，即U的近似值，此时将f(x)在[x,x+dx]上看 第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的 积分表达式 这种分析方法称为元素法 (或微元分析法) 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等 精确值 成不变的量f(x)，从而 （称为积分微元） 元素法 应用定积分解决实际问题的常用方法 用定积分解决的问题的特点: 所求量联系着一个基本区间 所求量对区间具有可加性 元素法的主要步骤: 选取积分变量,确定积分区间 求出所求量对应于一个小区间的元素 写出所求量积分表达式 元素的求法: 在微小的局部 以直代曲 以不变代变 1、平面图形的面积 1）直角坐标情形 设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 则 边梯形面积为 A , 右图所示图形面积为 二、定积分在几何上的应用 例1. 计算两条抛物线 在第一象限所围 所围图形的面积 . 解: 由 得交点 例2. 计算抛物线 与直线 的面积 . 解: 由 得交点 所围图形 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有 例3. 求椭圆 解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 当 a = b 时得圆面积公式 例4. 求由摆线 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . 解: 2） 极坐标情形 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 所求曲边扇形的面积为 对应 ? 从 0 变 例5. 计算阿基米德螺线 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 到 2? 所围图形面积 . 例6. 计算心形线 与圆 所围图形的面积 . 解: 利用对称性 , 所求面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、已知平行截面面积函数的立体体积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间 的体积元