9 常微分方程初值问题数值解法.ppt

thus 4-step Adams formula is constructed： The LE can also be obtained by aids of Taylor’s formula as before! 3-step 4 order Adams-Moulton implicit method Remarks 1. On account for numerical error stability , implicit formula will be used accompanied with explicit method in the form of Predictor-Corrector other than iteration: 2. 3. The study shows that k-step explicit Adams method is of order k; Actually, only one new f-evaluation must be done as the procedure advances (c.f. R-K 4 f-evalus) : 4. matlab Hint: Multi-step method can’t be auto-start, some other single-step method of same order such as Runge-Kutta method is needed: clear f=inline(y-x^2+1); x(1)=input(x0=); y(1)=input(y0=); h=input(h=); a=x(1); b=input(‘b=); n=(b-a)/h; for i=1:n x(i+1)=x(i)+h; end % initiated by R-K method for i=1:3 k(i,1)=f(x(i),y(i)); k(i,2)=f(x(i)+h/2,y(i)+(h/2)*k(i,1)); k(i,3)=f(x(i)+h/2,y(i)+(h/2)*k(i,2)); k(i,4)=f(x(i)+h,y(i)+h*k(i,3)); y(i+1)=y(i)+(h/6)*(k(i,1)+2*k(i,2)+2*k(i,3)+k(i,4)); end % Adams method for i=4:n y(i+1)=y(i)+(h/24)*(55*f(x(i-3),y(i-3))-59*f(x(i-2),y(i-2))+37*f(x(i-1),y(i-1))-9*f(x(i),y(i))); end x y clear 9.7 方程组和高阶方程 9.7.1 一阶方程组 前面我们研究了单个方程y?=f 的数值解，只要把y 和f 理解为向量，那么，所提供的各种计算公式即可应用到一阶方程组的情形. 　　考察一阶方程组 的初值问题，初始条件给为 若采用向量的记号，记(向量) 则上述方程组的初值问题可表示为 求解这一初值问题的四阶龙格-库塔公式为(向量) 式中(向量) 或表示为(分量) 其中(分量) 这里yin是第i个因变量yi(x)在节点xn=x0+nh的近似值. 　　为了帮助理解这一公式的计算过程，我们再考察两个方程的特殊情形 这时四阶龙格-库塔公式具有形式 其中 　　这是一步法，利用节点xn上的值yn, zn，由(6.3)式顺序计算K1,L1,K2,L2,K3,L3,K4,L4，然后代入(6.2)式即可求得节点xn+1上的yn+1, zn+1. 9.6.2 化高阶方程为一阶方程组 　　关于高阶微分方程(或方程组)的初值问题，原则上总可以归结为一阶方程组来求解. 例如，考察下列m阶微分方程 初始条件为 只要引进新的变量 即可将m阶方程(6.4)化为如下的一阶方程组： 初始条件(6.5)则相应地化为 　　不难证明初始条件(6.4),(6.5)和(6.6),(6.7)是彼此等价的. 　　特别地，对于下列二阶方程的问题 引进新变量z=y?,即可化为下列一阶方程组的初值问题: 针对这个问题应用四阶龙格-库塔公式(6.2)，有 由(6.3)式可得 如果消去K1,K2,K3,K4，则上述格式可表示为 这里 9.6.3 刚性方程组 课程结束! 祝同学们学习进步! 再见! * 　　再考察改进的欧拉方法，其增量函数?已由(3.2)式给出，这时有 设限定h≤h0(h0为定数)，上式表明φ关于y的利普希次常数为 因此改进的欧拉方法也是收敛的. 　　类似地, 不难验证其它龙格-库塔方法的收敛性. 定理1表明p≥1时单步法收敛