D6_1-2元素法及几何应用.ppt

第六章 第一节 定积分定义 二 、如何应用定积分解决问题 ? 第二节 例1. 计算两条抛物线 例2. 计算抛物线 例3. 求椭圆 一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 例4. 求由摆线 2. 极坐标情形 例5. 计算阿基米德螺线 例6. 计算心形线 心形线(外摆线的一种) 例7. 计算心形线 二、已知平行截面面积函数的立体体积 特别 , 当考虑连续曲线段 例9. 计算由椭圆 例10. 计算摆线 绕 y 轴旋转而成的体积为 注 例11. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 三、平面曲线的弧长 (1) 曲线弧由直角坐标方程给出: (2) 曲线弧由参数方程给出: (3) 曲线弧由极坐标方程给出: 例12. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 例13. 计算摆线 例14. 求阿基米德螺线 1. 求连续曲线段 2.试用定积分求圆 相应于 0≤?≤2? 一段的弧长 . 解: 解: 的弧长. 补充题 绕 x 轴 旋转而成的环体体积 V. (L.P198 例14) 典型P282 例1.24 运行时, 点击按钮“心形线”, 可演示心形线的生成, 并自动返回. (L.P184) * 目录 上页 下页 返回 结束 利用元素法解决: 定积分在几何上的应用 定积分在物理上的应用 定积分的应用 定积分的元素法 一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ? 第六章 任一种 任取 总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数 在区间 上的定积分, 即 记作 分割 一、什么问题可以用定积分解决 ? 表示为 1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “分割, 近似替换, 求和, 取极限” 定积分定义 一个整体量 ; 一、什么问题可以用定积分解决 ? 第一步 利用“分割区间, 近似替换” 求出局部量的 微分表达式 第二步 利用“求近似和, 取极限” 求出整体量的 积分表达式 这种分析方法称为元素法 (或微元分析法 ) 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等 近似值 精确值 第二节 二、已知平行截面面积函数的 立体体积 一、 平面图形的面积 三、 平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 第六章 在第一象限所围 所围图形的面积 . 解: 由 得交点 一、平面图形的面积 1. 直角坐标情形 与直线 的面积 . 解: 由 得交点 所围图形 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有 设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 则 边梯形面积为 A , 右下图所示图形面积为 注：直角坐标下面积公式 解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 当 a = b 时得圆面积公式 给出时, 则曲边梯形面积 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . 解: 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 所求曲边扇形的面积为 对应 ? 从 0 变 解: 到 2? 所围图形面积 . 心形线 所围图形的 面积 . 解: (利用对称性) 心形线 即 点击图中任意点 动画开始或暂停 尖点: 面积: 弧长: 参数的几何意义 与圆 所围图形的面积 . 解: 利用对称性 , 所求面积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间 的体积元素为 因此所求立体体积为 上连续, 　 祖暅原理也就是“等积原理”：幂势相同，则体不容异 。 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 当考虑连续曲线段 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 所围图形绕 x 轴旋转而 转而成的椭球体的体积. 解: 利用直角坐标方程 则 (利用对称性) 的一拱与 y＝0 所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 . 解: 绕 x 轴旋转而成的体积为 利用对称性 注意上下限 ! 注 注 分部积分 (利用“偶倍奇零”) 并 与底面交成 ? 角, 解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为 利用对称性 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 . 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ? 提示: 定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大 边长 ?→0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即 并称此曲线弧为可求长的. 定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的. (证明略) 则称 弧长元素