D7_3可降阶的高阶微分方程.ppt

机动 目录 上页 下页 返回 结束 一 7.3 可降阶的高阶微分方程 型的微分方程 二 型的微分方程 三 型的微分方程 一、 同理可得 型的微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对积分 得 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 例1 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求解 即 例2 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线 运动, 在开始时刻 随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减 直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 据题意有 t = 0 时 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小, 求质点的运动规律 初初速度为0, 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对方程两边积分, 得 利用初始条件 得 于是 两边再积分得 再利用 得 故所求质点运动规律为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二阶微分方程的显式一般形式为 如下二阶微分方程 可以通过降阶来求方程的解 型的微分方程 设 原方程化为一阶方程 设其通解为 则得 再一次积分, 得原方程的通解 二 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 例3 求解 解: 设 则 代入方程得 分离变量 积分得 即 利用 得 于是有 两端再积分得 利用 得 因此所求特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4 绳索仅受 重力作用而下垂, 取坐标系如图. 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 考察最低点 A 到任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: A 点受水平张力 M 点受切向张力 弧段重力大小 按静力平衡条件, 有 两式相除得 其中 故有 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 则 令 则原方程化为 分离变量得 两端积分得 由 可得 则有 即 两端积分得 由 可得 故所求绳索的形状为 即 悬 链 线 三 型的微分方程 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 原方程化为 方程中有三个变量无法求解 则 故方程化为 设(*)通解为 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解 例5 求解 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 则 原方程方程变为 分离变量得 两端积分得 即 故 (一阶线性齐次方程) 故所求通解为 例6 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间 (不计空气阻力). 如图所示选取坐标系. 则有定解问题: 积分得 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: M : 地球质量； m : 物体质量 设 则 代入方程得 积分得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用 得 故 从而 所以 两端积分得 利用 得 因此有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 由于 y = R 时， 由原方程可得 因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为 说明: 若此例改为如图所示的坐标系, 解方程可得 问: 此时开方根号前应取什么符号? 说明道理 . 则定解问题为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7 解初值问题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 则 原方程方程变为 分离变量得 积分得 利用初始条件得 根据 得 积分得 由 得 故所求特解为 为曲边的曲边梯形面积记为 例8 二阶可导, 且 上任一点 P(x, y) 作该曲线的切线及 x 轴的 垂线, [ 0, x ] 上以 解: 于是 在点 P(x, y) 处的切线倾角为? , 满足的方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 过曲线 上述两直线与 x 轴围成的三角形面积记为 区间 且 求 因为 所以 设曲线 得 两边对 x 求导, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定解条件为 令 则 原方程方程变为 解得 利用定解条件得 再解 得 再利用 y (0) = 1 得 故所求曲线方程为 速度 大小为 2v, 方向指向A , 提示: 设 t 时刻 B 位于 ( x, y ), 如图所示, 则有 去分母后两边对 x 求导, 得 又由于 设物体 A 从点( 0,