D7_3-5齐次方程.ppt

内容小结 作业 例3. 求解 解: 代入方程得 分离变量 积分得 利用 于是有 两端再积分得 利用 因此所求特解为 例4. 绳索仅受 重力作用而下垂, 解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到 ( ? : 密度, s :弧长) 弧段重力大小 按静力平衡条件, 有 故有 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: A 点受水平张力 H M 点受切向张力T 两式相除得 则得定解问题: 原方程化为 两端积分得 则有 两端积分得 故所求绳索的形状为 悬 链 线 三、 型的微分方程 令 故方程化为 设其通解为 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解 例5. 求解 代入方程得 两端积分得 (一阶线性齐次方程) 故所求通解为 解: M : 地球质量 m : 物体质量 例6. 静止开始落向地面, (不计空气阻力). 解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题: 代入方程得 积分得 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 求它落到地面时的速度和所需时间 两端积分得 因此有 注意“－”号 由于 y = R 时 由原方程可得 因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为 1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式 内容小结 可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 令 思考与练习 1. 方程 如何代换求解 ? 答: 令 或 一般说, 用前者方便些. 均可. 有时用后者方便 . 例如, 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号. 例6 例7 P309 2 (2); P315 1 (3), (6); 2 (5); P323 1 (5), (7); 2 (3); 4 ( 雅各布第一 · 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 伯努利(1654 – 1705) 瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 版了他的巨著《猜度术》, 上的一件大事, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出 这是组合数学与概率论史 此外, 他对 双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 . 目录 上页 下页 返回 结束 齐次方程 第三节 一、齐次方程 *二、可化为齐次方程的方程 第七章 一、齐次方程 形如 的方程叫做齐次方程 . 令 代入原方程得 两边积分, 得 积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. 解法: 分离变量: 例1. 解微分方程 解: 代入原方程得 分离变量 两边积分 得 故原方程的通解为 ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解) ( C 为任意常数 ) 此处 例2. 解微分方程 解: 则有 分离变量 积分得 代回原变量得通解 即 说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 (C 为任意常数) 求解过程中丢失了. 由光的反射定律: 可得 ?OMA = ? OAM = ? 例3. 探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面, 它的形状由 解: 将光源所在点取作坐标原点, 并设 入射角 = 反射角 能的要求, 在其旋转轴 (x 轴)上一点O处发出的一切光线， 从而 AO = OM xOy 坐标面上的一条曲线 L 绕 x 轴旋转而成 , 按聚光性 而 AO 于是得微分方程 : 经它反射后都与旋转轴平行. 求曲线 L 的方程. 积分得 故有 得 (抛物线) 故反射镜面为旋转抛物面. 于是方程化为 (齐次方程) 顶到底的距离为 h , 说明: 则将 这时旋转曲面方程为 若已知反射镜面的底面直径为 d , 代入通解表达式得 一阶线性微分方程 第四节 一、一阶线性微分方程 *二、伯努利方程 第七章 一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x) ? 0, 若 Q(x) ? 0, 称为非齐次方程 . 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 称为齐次方程 ; 对应齐次方程通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 2. 解非齐次方程 用常数变易法: 则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得 例1. 解方程 解: 先解 即 积分得 即 用常数变易法求特解. 则 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 令