fredholm积分方程.ppt

积分方程数值求解 正问题的研究从内容上讲是由原因到结果，由本质到现象，比较成熟。反问题则往往是由果求因，由表及里，由现象到本质，它的研究较正问题的起步和发展晚一些。可是反问题的研究不仅具有重大的科学创新意义，而且具有一定的现象意义和应用价值。 下面我们考虑一类具体的反问题模型，以函数f=f(x)表示原因，经过算子A的作用产生的结果记为g=g(y)，即有如下的关系： g=Af 那么，一般而言，已知A及函数f，求解g的问题是正问题；而由A和g来反推f，或根据f和g来构建A的问题则为反问题。根据积分的思想，可以将此类问题转化为积分方程的形式。 积分方程有各种不同的类型，不同类型方程的理论及解法也有很大差异。这里我们介绍几种常见的积分方程类型： 了解了几种类型的积分方程各自具有的形式之后，我们以第一类Fredholm积分方程为例进行数值求解。第一类Fedholm积分方程广泛存在于自然科学与工程技术的各个领域中。第一类Fredholm积分方程一个突出的特性就是“不适定”性。这一性质就导致了这一类方程求解的难度增加许多。 所以，在求解这一类方程时，需要明白如下的问题： 1.积分方程的相关概念； 2 积分方程的不适定性； 3 积分算子的离散化； 大量的数学物理反问题都可以转化为第一类Fredholm积分方程的求解问题。针对这一问题，在这里我们只讨论其数值解法，即方程的近似求解问题。一般而言，这一类方程都是不适定的，即具有病态性。所谓病态性（或不适定性），指解的存在性、唯一性、稳定性三者之中至少其一不满足。这里主要指解的稳定性不被满足，即右端数据的微小扰动将导致解的无穷大变化。因此，我们说这一类方程是病态的。 一维第一类fredholm积分方程的一般形式为 其中核函数K(x,y)和自由项g(x)为已知函数，f(y)为未知函数。离散积分方程的数值方法有很多种，比如可以用复化梯形公式、复化辛普森公式等，这里我们利用复化梯形公式来进行离散。复化梯形公式的形式如下： 下面具体给出复化梯形公式对积分方程的一般离散过程。 复化梯形公式对积分方程的具体离散过程： 　 然后利用梯形求积公式对积分项进行数值积分，即将 区间等分为n份，步长为 得到以下式子： 最后对变量x进行离散，将区间 等分为n份步长为 同时忽略积分公式误差项： 其中i=0,1,2,....,n 得到线性方程组 其中 再对上述方程进行数值求解，即可。 例 先将该问题离散成Ax=b的形式，可以为其提供离散的数值解，当n=5时，离散后就生成一个5阶的矩阵。（附程序） 其中 真解为