精品留数及留数定理.ppt

用Laurent级数的展开式计算积分 根据罗朗展开定理及罗朗级数的性质，得 留数和留数定理 一Δ、留数的定义和计算 二、 留数定理 三*、函数在无穷远点的留数 规则1o 若z0为f(z)的一阶极点，则有 典型例题 二、留数定理 推广的留数定理 留数的计算 留数定理 例5 计算下列积分,其中积分闭路取正向. (2) 解：被积函数 在环域内 解析,其奇点为 , ,其中 ,显然这些奇点有无穷多个,它们都在圆周 的内部,不能用定理1计算其积分值;可是该积分函数满足定理2条件,于是由定理2得 1 若z0为函数f(z) 的可去奇点（负幂项的项数为零个）, 则它在点z0的留数为零。 3 若z0为f(z) 的一级极点，则有 4 若z0为f(z) 的m级极点，则对任意整数 有 2 当z0为f(z)=g(z-z0) 的孤立奇点时，若 为偶函数，则f(z)在点z0的留数为零。 [ ] 0 ), ( Re 0 = z z f s * 步骤：1.分析f(z)的解析性，确定解析环域； 2.在包含积分路径C的解析环域里将函数展成Laurent级数 因此，我们可以根据求出系数c-1 的值来计算积分。 设 为 的一个孤立奇点; . 的某去心邻域 包含 的任一条正向简单闭曲线C. 一Δ 、留数的定义和计算 定义 在 的留数(Residue), 为 内的Laurent级数: 在 . 计算留数 0 (高阶导数公式) 0 (柯西积分定理) 即 在 为中心的圆环 的留数为 的系数。 在 注 域内的Laurent级数中负幂项 计算留数的一般公式 （1）若z0为函数f(z)的可去奇点，则它在点z0的留数为零。 当z0为f(z)=g(z-z0)的孤立奇点时，若g(ζ)为偶函数，则f(z)在点z0的去心邻域内Laurent级数只含 z-z0的偶次幂，其奇次幂系数都为0，从而得知 成Laurent级数求 (2)如果 为 的本性奇点, 展开 则需将 (3)如果 为 的极点, 则有如下计算规则 规则2o 若z0为f(z) 的n阶极点，则对任意整数 有 规则3 如果 设 及 在 都解析， 那末 为 的一级极点, 且有 为 的一级极点, 的一级零点, 为 的一级极点， 为 证 例1 求 在 的留数（n为正整数）。 解 例2 求 在 的留数. 分析 是 的三级零点 由规则2得 计算较麻烦. 如果利用Laurent展开式求系数c-1较方便： 解 说明: 如 为m级极点，当m 较大而导数又难以计算时, 可直接展开Laurent级数求c-1来计算留数。 2. 在应用规则2时, 取得比实际的级数高. 级数高能够使得计算方便. 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则. 为了计算方便一般要将m 因为有时把m取得比实际的 如上例取 例3．求下列函数在指定点处的留数 (1) , ; 解： 是函数 的一级零点, 又是函数 的五级零点. 于是它是 的四级极点, 可用规则 计算其留数,其中n=4,为了计算简便应当取其中m=5,这时有 另解： 在点 的去心邻域 内的Laurent级数为 例3．求下列函数在指定点处的留数 (1) , ; 其中n=4的项的系数为c-1=1/4!, 从而也有 (2) , ; 解： 在点 的去心邻域 内的Laurent级数为 显然 为它的本性奇点,其中 的项的系数为 ,于是得 注 留数定理将沿封闭曲线C 积分转化为求 被积函数在C内各孤立奇点处的留数. 留数定理 点的一条正向简单闭曲线, 奇点z1,z2,…,zn外处处解析, 函数 f(z) 在区域 D 内除有限个孤立 C 是D 内包围诸奇 那末 证明 首先在C的内部，环绕f(z)的每个奇点zk作互 不相交且互不包含的正向小圆周Ck 根据积分路径的复闭路定理得 由定义1， 所证等式成立。 例1 计算积分 C为正向圆周: 解 被积函数 的奇点 （一级极点）和 （二级极点）都在圆 的内部,并且 例2. 计算积分 解：