1章 函数与极限.doc

高 等 数 学（上） 课程 教 案 课程编号：100001 总学时：85 周学时： 5 适用年级专业（学科类）：一年级物理类信息类 开课时间：2007-2008学年第 1 学期 使用教材： 高等数学 作者：同济大学 版本：第 5 版 授课教师姓名：王鹏 章节 函数与极限 §1 映射与函数 课时 2 教 学 目 的 掌握函数定义及特性，掌握基本初等函数的性质 教学 重点 及 突出 方法 函数及基本初等函数的性质 教学 难点 及 突破 方法 函数定义及特性 相关 参考 资料 《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P1-P44 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P8-P16 教 学 过 程 教学思路、主要环节、主要内容 1.1函数 集合：所谓集合是指具有某种特定性质的事物的总体。 组成这个集合的事物称为该集合的元素。 2.函数概念 设和是两个变量，是一个给定的数集。如果对于每个数，变量按照一定法则总有确定的值和它对应，则称是的函数，记作.数集叫做这个函数的定义域，叫做自变量，叫做变量。 取数值时，与对应的的数值称为函数在点处的函数值，记作.当遍取的各个数值时，对应的函数值全体组成的数集 函数y=f(x)中表示对应关系的记号也可改用其他字母，例如“”，“”，等等。这时函数就记作，等等。 (1).函数的有界性 D.如果存在数都成立，则称函数在上有上界，而称为函数在上的一个上界。如果存在数，使得都成立，则称函数在上有下界，而称为函数在上的一个下界。如果存在正数，使得都成立，则称函数在上有界。如果这样的不存在，就称函数在上无界；这就是说，如果对于任何正数，总存在，使，那末函数在上无 (2).函数的单调性 D.如果对于区间在区间上是单调增加的如果对于区间，当时，恒有在区间上是单调减少的。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。 (3).函数的奇偶性 (即若)。如果对于任一为偶函数。如果对于任一，为奇函数。 (4).函数的周期性 .如果存在一个不为零的数为周期函数，称为的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。 中，若将当作自变量，当作因变量，则由确定的函数称为的反函数f的反函数f -1必定存在，且f -1也是f(D)上的单调函数。 章节 函数与极限 §2 数列的极限 课时 2 教 学 目 的 使学生了解数列极限的概念，掌握收敛数列的性质 教学 重点 及 突出 方法 收敛数列极限的性质 教学 难点 及 突破 方法 数列极限概念的理解 1.极限是高等数学中非常重要的概念，它是从静认识动，从近似认识精确，从有限认识无限的一种数学方法. 2. 数列极限定义中的ε的引入，是使数列极限定义由定性描述转入定量描述的关键. 具有任意性是指在没有取定之前，它可以取任意小的正数，根据某一具体问题，它可以取特殊值，或者可以加以某种限制，或者可以表为其它形式，如2ε,kε(k≠0), ε/2等. 3. 数列与有关，针对具体问题，可用“放大方法”去找.4. 收敛数列有四个性质： (1)唯一性 (2) 有界性 (3) 保号性 (4) 子列性质 相关 参考 资料 《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P48-P58 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P17-P32 教 学 过 程 教学思路、主要环节、主要内容 1．2 数列的极限 一、数列的概念与性质 1. 数列的概念 ，对应有一个确定的实数，这些实数按照下标从小到大排列得到一个序列就叫做数列，简记为}. 数列中每一个数叫做数列的项，第n项叫做数列的一般项或通项. 2. 数列为特殊的函数 的函数： ，当自变量依次取等一切正整数时，对应的函数值就排成数列}. 3. 数列的几何意义 (1) }可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点 (2) 在几何上，数列}可看作平面上的一个动点，它依次取平面上的点 4. 数列的性质 有界性：. (2) 无界数列： 二、数列极限的定义 设{}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当nN时，不等式都成立，那么就称常数a是数列{}的极限，或者称数列{}收敛于a，记为或. 注意：(1)数列极限定义中正数ε可以任意给定很重要，因为只有这样，不等式才能表达出与a无限接近的意思，即ε的任意性刻画了与a的接近程度. (2)数列极限定义中的正整数N是于任意给定的正数ε有关的，它随ε的给定而给定（可以找到，但不唯一）。 数列{}极限的几何意义 将常数及数列}在