5章中心极限定理.ppt

第二节 中心极限定理 * * * * 第一节 大数定律 第二节 中心极限定理 基本要求: 1. 理解实际推断原理; 2. 掌握车贝晓夫不等式; 3. 熟悉几个常用的大数定律； 4. 熟练掌握并能运用几个常见的中心极限定理. 学时数 3-4 重点: 1.车贝晓夫不等式的运用; 2.中心极限定理的应用. 1. 依概率收敛 定义1 若对任意给定的ε＞0, 有: 则称{Xn}依概率收敛于X, 记作: 第一节 大数定律 一、随机变量的收敛性 2. 依分布收敛 定义2 设Xn与X的分布函数分别为Fn(x)和F(x),若在F(x)的每一连续点x上有: 则称Xn依分布收敛于X, 记作: 二、实际推断原理 人们在长期的生产和生活实际中积累了丰富的经验,能够很自然地把那些概率接近于0的事件(小概率事件),在一次试验中看成实际上是不可能事件;而把概率接近于1的事件(大概率事件),在一次试验中看成实际上是必然事件,这就叫实际推断原理. 三、大数定律的一般提法 设{Xn}是一随机变量序列,{an}是一常数序列. 令 若对任意的ε＞0, 有: 则称 {Xn}服从大数定律. 四、车贝晓夫不等式 设随机变量X的方差DX存在,则对任意给定的ε＞0, 有: [例1] 假设随机变量X的分布未知,但已知EX=μ,DX=σ2.试估计X落在(μ－3σ,μ＋3σ)内的概率. 解: 由车贝晓夫不等式,任意的ε＞0,有: [例2] 将一枚硬币抛掷1000次,试利用车贝晓夫不等式估计:在1000次中,出现正面H的次数在400至600次之间的概率. 解: 设1000次抛掷中出现正面的次数为X, 则 由车贝晓夫不等式得: 例3 一机床制造长度为50cm的工件,有随机误差.统计表明,长度的均方差为2.5mm.若工件实际长度在49.25~ 50.75之间算合格,估计该机床制造工件的合格率. 解: 由车贝晓夫不等式 五、几个常用的大数定律 1.车贝晓夫大数定理: 证明: 由期望与方差的性质知 利用车贝晓夫不等式,并取极限得 2.贝努里大数定理 证明: 3.辛钦大数定理 (证明略) 例4 解: 由题意 即每个随机变量都具有有限的数学期望,有限的方差,满足定律. 证明: 一、中心极限定理的一般提法 设{X n}(n=1,2,…)相互独立,有有限的期望和方差, 令 凡有关论证独立随机变量和的极限分布是正态分布的一系列定理统称为中心极限定理. 若对任意的实数x, 都有: 则称序列{Xn}服从中心极限定理. 1.林德贝格---勒维定理 二、几个常见的中心极限定理 2. 德莫佛---拉普拉斯定理 证明: 注意: [例 6] 对敌阵地进行100次炮击,每次炮击中,炮弹的命中颗数的数学期望为4,方差为2.25,求在100次炮击中,有380颗到420颗炮弹击中目标的概率的近似值. 解: 设第i次炮击中炮弹命中颗数为Xi, i=1,2,…100. 由题意可知: [例7] 在人寿保险公司里有3000个同一年龄的人参加人寿保险.在一年里,这些人的死亡率为0.1%.参加保险的人在一年的头一天交付保险费10元,死亡时,家属可以从保险公司领取2000元. 求: (1)保险公司一年中获利不小于一万元的概率; (2) 保险公司公司亏损的概率是多少? 解: 设一年中死亡人数为X,则