一章 逻辑代数基础.ppt

§1.3 逻辑代数及运算规则 数字电路要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑代数（布尔代数）。 在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个值（二值变量），即0和1，中间值没有意义。 0和1表示两个对立的逻辑状态。 例如：电位的低高（0表示低电位，1表示高电位）、开关的开合等。 1.3.1 逻辑代数的基本运算规则 或运算规则: 0+0=0 ，0+1=1 ，1+0=1，1+1=1 与运算规则: 0?0=0 0?1=0 1?0=0 1?1=1 非运算规则: 1.3.2 逻辑代数的运算规律 一、交换律 二、结合律 三、分配律 A+B=B+A A? B=B ? A A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B A? (B ? C)=(A ? B) ? C A(B+C)=A ? B+A ? C A+B ? C=(A+B)(A+C) 普通代数不适用! 求证: （分配律第2条） A+BC=(A+B)(A+C) 证明: 右边 =(A+B)(A+C) =AA+AB+AC+BC ; 分配律 =A +A(B+C)+BC ; 结合律 , AA=A =A(1+B+C)+BC ; 结合律 =A ? 1+BC ; 1+B+C=1 =A+BC ; A ? 1=1 =左边 四、吸收规则 1.原变量的吸收： A+AB=A 证明： A+AB=A(1+B)=A?1=A 利用运算规则可以对逻辑式进行化简。 例如： 被吸收 吸收是指吸收多余（冗余）项，多余（冗余）因子被取消、去掉 ? 被消化了。 长中含短，留下短。 2.反变量的吸收： 证明： 例如： 被吸收 长中含反，去掉反。 3.混合变量的吸收： 证明： 例如： 1 吸收 正负相对，余全完。 五、反演定理 可以用列真值表的方法证明： 德 ? 摩根 (De ? Morgan)定理： 推广——反演定理：将函数式 F 中所有的 ? + + ? 变量与常数均取反 （求反运算） 互补运算 1.运算顺序：先括号 ? 再乘法 ?后加法。 2.不是一个变量上的反号不动。 注意: 用处：实现互补运算（求反运算）。 新表达式：F* 显然： (变换时，原函数运算的先后顺序不变) 例1： ?与或式 注意括号 注意 括号 ? 例2： ?与或式 反号不动 反号不动 ? (三)对偶定理 注意： 变换过程必须遵循先“与”后“或”的顺序 ? ＋ 1 0 原函数 对偶函数 例： 当某个逻辑恒等式成立时，则其对偶式也成立 若两个逻辑式相等，其对偶式也相等。 对偶定理： 对偶式为： 对偶式为： §1.4 逻辑函数的表示法 四种表示方法 逻辑代数式 (逻辑表示式, 逻辑函数式) 1 1 ≥1 A B Y 逻辑电路图: 卡诺图 n个输入变量 种组合。 真值表：将逻辑函数输入变量取值的不同组合与所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出的表格。 将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。 n个变量可以有2n个输入状态。 1.4.1 真值表 列真值表的方法：一般按二进制的顺序，输出与输入状态一一对应，列出所有可能的状态。 例如： 1.4.2 逻辑函数式 逻辑代数式：把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式。也称为逻辑函数式，通常采用“与或”的形式。 例： 下面介绍两个重要概念——最小项和逻辑相邻。 最小项：构成逻辑函数的基本单元。对应于输入变量的每一种组合。 以三变量的逻辑函数为例： 变量赋值为1时用该变量表示；变量赋值为0时用该变量的反来表示。 可见输入变量的八种状态分别唯一地对应着八个最小项。 (1) 若表达式中的乘积包含了所有变量的原变量或反变量，则这一项称为最小项。 最小项的特点： (2) 当输入变量的赋值使某一个最小项等于1时，其他的最小项均等于0。 之所以称之为最小项，是因为该项已包含了所有的输入变量，不可能再分解。 例如：对于三变量的逻辑函数，如果某一项的变量数少于3个，则该项可继续分解；若变量数等于3个，则该项不能继续分解。 根据最小项的特点，从真值表可直接用最小项写出逻辑函数式。 例如：由左图所示三变量逻辑函数的真值表，可写出其逻辑函数式： 验证：将八种输入状态代入该表示式，均满足真值表中所列出的对应的输出状态。 最大项： 在n个变量的逻辑函数中，若M为n个变量之和，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则称M为该组变量的最大项，用M表示。 三变量A、B、C的最大项有8项： n变量有最大项2n个。 最大项的编号： 原变量：0 反变量：1 编号0：00