三章-非稳态导热-2.ppt

§3-3 一维非稳态导热的分析解 例题1：P78 (3-4) 例题2：P79（3-4） * 当几何形状及边界条件都比较简单时, 可获得分析解。 3-3-1 无限大的平板的分析解 考察厚度 2? 的无限大平壁得情况。设?、a为已知常数；?=0时温度为 t0；突然把两侧介质温度降低为 t?并保持不变；已知壁表面与介质之间的表面传热系数为h。 两侧冷却情况相同、温度分布对称。中心为原点。 则导热微分方程为： 初始条件： 边界条件： 引入： 则，导热方程可改写为： 定解条件可改写为： 采用分离变量法求解：取 于是有： T只为?的函数 X只为x的函数 则由： 得： 只能为常数 得到 对 积分 式中C1是积分常数，常数值D的正负可以从物理概念上加以确定。 当时间τ趋于无穷大时，过程达到稳态，物体达到周围环境温度，所以 D 必须为负值，否则物体温度将无穷增大。 令 则有 以及 以上两式的通解为： 于是，得 （a） 常数A、B和β可由下边定解条件确定。 (1) (2) (3) 由边界条件（2），得 B=0 把边界条件（3）代入(b) ，得 于是（a）式成为 （b） （c） 将 右端整理成： 注意，这里 Bi数的尺度为平板厚度的一半。 显然，β是两曲线交点对应的所有值。式(c)称为特征方程。 β称为特征值。分别为β1、 β2…… βn。 …. 将无穷个解叠加，得： 至此，我们获得了无穷个特解： An可利用初始条件 求取 于是，得到解的最后形式为： 令 βnδ=μn 最后得： （傅立叶数） — 无量纲距离 由于 得 而 于是，最后可得到解得形式为： 定义无量纲的热量 其中Q 为 0?? 时间内传导的热量（内热能的改变量） 为初始时刻至无穷时间内的总传导热量（物体内能改变总量） 于是有: 是? 时刻物体的平均过余温度。 这里: 3-3-2 非稳态导热的正规状况阶段 当Fo 0.2时，采用级数的第一项计算偏差小于1%，故当Fo 0.2时,由: 其中 ?1? 是第一特征值，是 Bi 的函数。 1.571 1.555 1.540 1.429 1.314 0.860 0.653 0.311 0.221 0.0998 ?1? ? 100 50 10 5.0 1.0 0.5 0.1 0.05 0.01 Bi 得: （d） 为了分析这时温度分布的特点，将上式取对数，得： 式右边第一项是时间? 的线性函数，? 的系数只与 Bi 有关，即只取决于第三类边界条件、平壁的物性与几何尺寸。而右边第二项只与Bi、x/? 有关，与时间? 无关。 上式说明，当 Fo 0.2,平壁内所有各点过余温度的对数都随时间线性变化，并且变化曲线的斜率都相等,这一温度变化阶段称为非稳态导热的正规状况阶段。 即：比值与?无关，仅与几何位置(x/?)及边界条件(Bi数)有关。这表明初始条件的影响已经消失，无论初始分布如何，无量纲温度都是一样的。此时非稳态导热已进入正规状态或充分发展阶段。 Fo 0.2时，任一点过余温度?与中心过余温度?m之比为 （e） 令x = ? ，还可以计算平壁表面温度和中心温度的比值。 另外，由表3-1可知，当Bi 0.1时，?1? 0.3111，从而cos(?1?) 0.95。即当Bi 0.1时，平壁表面温度和中心温度的差别小于5%，可以近似认为整个平壁温度是均匀的。这就是3-2节集总参数法的界定值定为Bi 0.1的原因。 （f） 两边对时间求导，得 上式左边是过余温度对时间的相对变化率，称为冷却率（或加热率）。 上式说明，非稳态导热进入正规状况阶段后，物体所有各点的冷却率或加热率都相同，且不随时间而变化，其值仅取决于物体的物性参数、几何形状与尺寸以及表面传热系数。 由式 其一是利用式（d）的计算步骤： 计算Bi→?1 计算F0, ?0 计算任一位置 x 处的 ?（x,?） ，式（d） 3-3-3 正规状况阶段的实用计算方法 对于 Fo?0.2 时无限大平壁的非稳态导热过程，其温度场可按公式(d)计算；也可用诺谟图计算，其中用于确定温度分布的图线称为海斯勒图。 （2） 采用海斯勒（Heisler）图计算 为平板中心的过余温度 由式 其中 求出了无限大平壁的温度分布后，就可以求出经过 ? 时间内每平方米平壁与外界交换的热量： 显然，Q /Q0 亦是Fo和Bi的函数 利用海斯勒线图计算步骤 a）对于由时间求温度的步骤为:计算Bi