三节 函数的极限.ppt

A x y 0 函数的极限 . f (x) 该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在 A的 ? 邻域 内， 即相应的点(x,f(x)) 落在绿色区域内. ?A的?邻域, ? x0的空心? 邻域, 当 A x y 0 函数的极限 . f (x) 该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在 A的 ? 邻域 内， 即相应的点(x,f(x)) 落在绿色区域内. ?A的?邻域, 当 ? x0的空心? 邻域, A x y 0 函数的极限 . f (x) 该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在 A的 ? 邻域 内， 即相应的点(x,f(x)) 落在绿色区域内. ?A的?邻域, 当 ? x0的空心? 邻域, A x y 0 函数的极限 . f (x) 该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在 A的 ? 邻域 内， 即相应的点(x,f(x)) 落在绿色区域内. ?A的?邻域, ? x0的空心? 邻域, 当 A x y 0 几何上：函数有极限 等价于这种? 邻域与 空心? 邻域之间 存在着无限的对应. 函数的极限 . f (x) 该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在 A的 ? 邻域 内， 即相应的点(x,f(x)) 落在绿色区域内. ?A的?邻域, ? x0的空心? 邻域, 当 例 4 (1) 证明 (2) 证明 例 5 证明 注意: 例 6 证明: 当 时, 左极限 使当 时, 恒有 记作 或 右极限 使当 时, 恒有 记作 或 定理 例 7 验证 不存在. 例 8 设 求 函数极限的性质 唯一性定理 若 存在, 则极限唯一. 有界性定理 若 则存在常数 和 使得当 时, 有 函数极限的性质 保号性定理 若 且 (或 则 使得当 时, 有 (或 注: 由证明可见, 保号性定理的结论可加强为 推论 若 且在 的某去心邻域内 (或 则 (或 子序列收敛性 定义 设在过程 可以是 或 中有 数列 使得 时 则称数列 为函数 当 时的子序列. 定理 若 数列 是 当 时的一个子序列, 则有 函数极限与数列极限的关系 函数极限存在的充要条件是 都存在且相等. 例9 证明 不存在. 它的任何子列的极限 函数极限的概念 小结 * * * * * * * * * * * * 第一章 函数与极限 第三节 函数的极限 法国多产的数学家柯西. 他在1821~1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作. 在书中他给出了相对精确的极限定义，然后用极限定义了连续性、导数、微分、定积分及无穷级数的收敛性. 德国数学家维尔斯特拉斯对此作了进一步的严格化，使得极限理论成为了微积分的坚定基础. 一、函数极限的引入 数列可看作自变量为正整数 的函数: 数列 的极限为 即: 当自变量 取正整数 且无限增大 时, 对应的函数值 无限 接近数 由此引出函数极限的 一般概念: 在自变量 的某个变化过程中, 如果对 应的函数值 无限接近于某个确定的数 则 就认作 在该变化过程中函数 的极限. 播放 二 自变量趋向无穷大时函数的极限 问题: 如何用数学语言刻画下述过程: 函数 “无限接近”确定值 ) ( x f A . 当 时, ? x ￥ 定义: 设函数 当 大于某一正数时有定义. 如果对任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在 着正数 使得对于满足不等式 的一切 恒有 那么常数 就叫函数 当 时的极限, 记作 或 (当 情形: 即 使当 时, 恒有 情形: 使当 时, 恒有 即 单侧极限: 定理 且 x y 0 f (x) A X – X 其相应的曲线上的点 落在绿色区域内. x 趋于无穷大时的极限 ?A的?邻域, ? X 0, A+? A–? 对满足 |x| X 的一切点 x, x y 0 f (x) X – X A 其相应的曲线上的点 ?A的?邻域, ? X 0, . x 趋于无穷大时的极限 对满足 |x| X 的一切点 x, 落在绿色区域内. x y 0 f (x) X – X A 其相应的曲线上的点 ?A的?邻域, ? X 0, . x 趋于无穷大时的极限 对满足 |x| X 的一切点 x, 落在绿色区域内. x y 0 f (x) A X – X 其相应的曲线上的点 ?A的?邻域, ? X 0, . x 趋于无穷大时的极限 对满足 |x| X 的一切点 x, 落在绿色区域内. X – X x y 0 f (x) A X – X X – X X – X X – X X – X 其相应的曲线上的点 ?A的?邻域, ? X 0, . x 趋于无穷大时的极限 对满足 |x| X 的一切点 x, 落在绿色区域内