二章 误差分布与精度指标.ppt

第二章 误差分布 与精度指标 §2.1 正态分布 偶然误差表现： 在相同的观测条件下进行一系列观测， 单个误差在大小和符号上都没有任何规律，表现出随机性，每个误差对总体的影响很小，没有哪个误差在整个误差中占优势， 但大量误差的总体却呈现出一定的统计规律。 §2.1 正态分布 （1）相互独立的随机变量：无论这些随机变量原来服从什么分布，也无论他们是同分布或不同分布，只要它们具有有限的均值和方差，且其中每一个随机变量对其总和的影响都是均匀地小，那么，其总和将是服从或近似服从正态分布的随机变量。 （2）许多种分布都是以正态分布为其极限分布的。 正态分布是一种常见的概率分布，是处理观测数据的基础。 偶然误差是服从正态分布的随机变量 §2.1 正态分布 服从正态分布的一维随机变量的概率密度函数是： 一维正态随机变量的数学期望和方差是: §2.1 正态分布 服从N维正态分布的随机向量X的概率密度函数是： N维正态随机变量的数学期望和方差是: §2.1 正态分布 正态分布曲线的性质: 1、曲线关于 x=u 对称； 2、当x=u时，f(x)具有最大值，且与 成反比； 3、当X离 u越远，f(x)的值越小； 4、曲线x=u± 处有拐点； 5、 越小，曲线顶点越高，曲线形状越陡峭 §2.2 偶然误差的统计规律性 实验表明： （1）闭合差在数值上不会超出一定界限，或者说超出一定界限的闭合差出现的概率为零； （2）绝对值小的闭合差比绝对值大的闭合差出现的概率要大； （3）绝对值相等的正负闭合差个数大致相等。 §2.2 偶然误差的统计规律性 1、在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值（界限性 ）； 2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大（聚中性 ）； 3、绝对值相等的正负误差出现的概率相同（对称性 ）； 4、偶然误差的数学期望为零 §2.2 偶然误差的统计规律性 偶然误差 ，服从正态分布 §2.3 精度 一、精度的概念： 二、精度指标： 矩阵知识 (7)转置矩阵 对于任意矩阵Cmn: 矩阵转置的性质： (8)逆矩阵 给定一个n阶方阵 A，若存在一个同阶方阵B，使AB=BA=I（E），称B为A的逆矩阵。记为： 逆矩阵的性质: §2.4 方差—协方差阵 一、单个观测值的方差、协方差： 方差反映了X的误差分布的离散程度; 协方差反映了X和Y之间的相关关系. 当两个随机变量X和Y随机独立，或者说两个（两组）观测值X和Y的真误差之间互不影响，则称为这些观测值是不相关的观测值，也称独立观测值。 §2.4 方差—协方差阵 二、观测值向量的方差-协方差阵： 观测值向量 : 观测值向量 的自协方差阵： §2.4 方差—协方差阵 观测值向量 的自协方差阵DXX： §2.4 方差—协方差阵 三、互协方差阵： 观测值向量 关于 的互协方差阵： §2.4 方差—协方差阵 §2.4 方差—协方差阵 若有随机向量 和 ，组成新的随机向量 ， 即 ，则 的自协方差阵: 作业： 测量平差的任务是什么？ 试述观测误差的分类。 试述偶然误差的统计规律性。 什么是精度？精度的数字指标有哪些？ 什么是方差？方差的估值公式是什么？ 已知观测值X服从参数为u和σ2正态分布，推导: E(X) = u, D(X) = σ2. * * 图2.2.1 σ不同，曲线的位置不变，形状却变化:σ愈小，曲线顶点愈高，形状愈陡峭，误差分布密集于随机变量的数学期望附近。 偶然误差的概率密度函数是： 精度：误差分布的密集或离散程度。 一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就不同。 提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。精度不代表个别误差的大小,反映的是一组观测值的观测质量 的好坏. 1、平均误差 在一定的观测条件下，一组独立的误差的绝对值的数学期望。 与中误差的关系： 2、方差/中误差 f(?) 0 0.4 0.6 0.8 -0.8 -0.6 -0.4 闭合差 面积为1 方差： 中误差： 提示： σ越小，误差曲线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。相反，精度越低。 方差的估值：当观测值n有限时, 3、或然误差 f(?) 0 闭合差 50% 4、极限误差 正态随机变量出现在给定区间