高三数学基础知识总结 第十五章 复数☆.doc

高中数学第十五章 复数 考试内容： ?　 复数的概念． 　　复数的加法和减法． 　　复数的乘法和除法． 　　数系的扩充． 考试要求： （1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义． （2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算． （3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想． §15. 复 数 知识要点 1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即. ⑵复数及其相关概念： 复数—形如a + bi的数（其中）； 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a； 虚数—当时的复数a + bi； 纯虚数—当a = 0且时的复数a + bi，即bi. 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数） 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示. ⑶两个复数相等的定义： . ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小. 注：①若为复数，则若，则.（×）[为复数，而不是实数] 若，则.（√） ②若，则是的必要不充分条件.（当， 时，上式成立） 2. ⑴复平面内的两点间距离公式：. 其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离. 由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：. ⑵曲线方程的复数形式： ①为圆心，r为半径的圆的方程. ②表示线段的垂直平分线的方程. ③为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若，此方程表示线段）. ④表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若，此方程表示两条射线）. ⑶绝对值不等式： 设是不等于零的复数，则 ①. 左边取等号的条件是，右边取等号的条件是. ②. 左边取等号的条件是，右边取等号的条件是. 注：. 3. 共轭复数的性质： ，（a + bi） （） 注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] 4 ⑴①复数的乘方： ②对任何，及有 ③ 注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论. ②在实数集成立的. 当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法. ⑵常用的结论： 若是1的立方虚数根，即，则 . 5. ⑴复数是实数及纯虚数的充要条件： ①. ②若，是纯虚数. ⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零. 注：. 6. ⑴复数的三角形式：. 辐角主值：适合于0≤＜的值，记作. 注：①为零时，可取内任意值. ②辐角是多值的，都相差2的整数倍. ③设则. ⑵复数的代数形式与三角形式的互化： ，，. ⑶几类三角式的标准形式： 7. 复数集中解一元二次方程： 在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题： ①当时，若＞0，则有二不等实数根；若=0，则有二相等实数根；若＜0，则有二相等复数根（为共轭复数）. ②当不全为实数时，不能用方程根的情况. ③不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立. 8. 复数的三角形式运算： 棣莫弗定理：