基变换公式坐标变换公式坐标旋转公式平面解析几何.PPT

7.2 基、坐标 向量的线性相关、线性无关 线性空间的维数、基、坐标 一. 向量的线性相关（无关） * 不经声明，v均表示数域 P 上的线性空间. 二. 维数、基、坐标 定义5 V中有n个线性无关的向量，且无多余n个的向量线性 无关，则称V是n维的记成dimV=n；若V中有任意多个向量线性 无关，则称 V是无限维的，记成dimV=∞. 线性空间V的维数即V作为一个向量组时，该向量组的一个极大无关组所含向量的个数. 例1 (1) V2：两相交矢量确定此平面 → dimV2=2； V3：三相交矢量确定此空间 → dimV3=3. (2) Pn ={(a1,a2,…,an)|ai∈P,i=1,2,…,n}是n维的，e1,e2,…,en是Pn的一个极大无关组. (3) R[x]={f(x)|f(x)是实系数多项式}. 当 f(x)=a0+…+anxn , 且k0+…+knxn=0时有k0==kn=0成立，故 1,x,…,xn,…是R[x]的一个极大无关组 → dimR[x]=∞. 本教材仅讨论无限维线性空间. 定义6 dimV= n，如果ε1，ε2，…,εn 线性无关，则称ε1 , ε2 , …,εn 为 V 的一组基（或一个基）； α∈V，α＝a1ε1+ a2ε2 + … + anεn , 称 a1, a2,…,an 为α在基 ε1，ε2，…,εn 下的坐标，记为（a1, a2,…,an）. 基是 V 中一个极大无关组 → V 中有多个基，但维数是唯一确定的； 对任意的α∈V，α可由基ε1，ε2，…,εn 唯一线性表示 → （这即说：向量α 在该基ε1，ε2，…,εn 下的坐标唯一确定）. 证明： 据维数及基的定义 → α，ε1，ε2，…,εn 线性相关，即 存在不全为0的 b1,b2,…,bn ,使 b1ε1 + b2ε2+ … + bnεn+ bn+1α=0 → bn+1≠0 (否则，由ε1，ε2，…,εn线性无关将推出b1=b2=…=bn =0， 矛盾) → α= bn+1-1((-b1)ε1+ … +(-bn)εn)= a1ε1+ a2ε2 + … + anεn ,即α可由基ε1，ε2，…,εn 线性表示. 设α＝a1ε1+ a2ε2 + … + anεn ＝b1ε1+ b2ε2 + … + bnεn → (a1-b1)ε1+ (a2-b2)ε2 + … +(an-bn)εn ＝0 → 由基ε1，ε2，…,εn 线性无关可知 a i=b i (i=1,2,…,n), 即表示唯一. □ 基相当于V中的一个度量标准，坐标是V中客观对象（即向量）在给定标准下的一种量的刻画. 定理1 α1,α2,…,αn 是 V 的基 α1,α2,…,αn 线性无关，且 对任意的α∈V， α可由α1,α2,…,αn 线性标出. 6.1.作业习题解疑： P267. 习题3 （5）： 基变换与坐标变换 一 基变换公式 二 坐标变换公式 三 过渡矩阵 * 问题的提出： dimV=n → 例： V2={α：始点为坐标原点的平面矢量} * 形式书写记号及其性质 * 形式记号的运算性质： 一 基变换公式 称如上公式为基 到基 的基变换公式； 称A为基 到基 的过渡矩阵 二. 坐标变换公式 命题2 作业： P274 习题5，习题7. 1)，习题8.1），3），习题9. 1)，3）. 三. 过渡矩阵 * * 过渡矩阵A是可逆矩阵 基变换公式 坐标变换公式 矩阵表示 基变换公式 坐标变换公式 坐标旋转公式 （平面解析几何） 接前页