三次函数图形的三个超额特征201数学学科中心.DOC

探討二項式函數弓形區域面積的新穎特徵含另一個三次函數圖形的超額特徵 張幼賢、朱亮儒、洪有情、李政豐、陳昭地 ★國立臺灣師範大學數學系教授 國立竹南高中數學教師 摘要 對拋物線弓形，其中為拋物線上的任意兩點，為拋物線段間的一點，且以為切點的切線與平行，則弓形與的面積比值為，此為約公元前250年阿基米得就已知道的事實；本文旨於探討一般二項式曲線(為常數)是否有類似的性質。利用GeoGebra軟體為輔助工具，發現如下的推廣結果： I.三次曲線以反曲點為一端點的弓形，其面積等於底乘高的倍理1。 II.偶次曲線的正弓形面積等於底乘高的倍定理2。III. 二項式曲線以原點為一端點的弓形，其面積等於底乘高的倍定理3。 並提出如下的「陳李張臆測」：二項式曲線，若不為原點，且以為切點的切線為，則當且時，，亦即當沿趨向時，弓形的面積接近於底乘高的。 關鍵字：弓形、正弓形、面積、GeoGebra一、引言 在參考資料[1]及[4]二文中，曾提出有關三次函數圖形共四個新穎額外的特徵。本文旨於提出另一個三次函數圖形的第五個新穎特徵。原來在公元前約250年，古希腊數學家阿基米得用窮盡法得到底邊長、高為的正拋物線弓形面積公式，如圖(1)，恰好是內接面積的倍，簡記成。 ▲圖(1) ▲圖(2) 這一關係式對任一拋物線弓形，只要以為切點的切線與平行，那麼弓形也成立。由拉格朗日均值定理，可以保證點是唯一存在的；就圖(2)來看，點恰好是過中點的鉛直線與拋物線的交點，而為所有內接三角形面積的最大值。對一般的三次函數圖形，甚至更一般性的二項式函數(為常數)，以GeoGebra軟體充作輔助計算探究，是否有類似常數倍的規律性，即為本文所關注的主題。 二、特殊情形：及 首先處理，取，，且與的圖形相切於原點，如圖(3)所示，其中，而正弓形面積為 。 於是， 透過GeoGebra軟體計算顯示的結果，可用圖表(1)來呈現： ▲圖表(1) 再用GeoGebra軟體讓上下水平移動，觀察到(1)式中的比值仍然保持不變。例如：取到四位小數時， (1)得出比值。(2) 得出比值。 因此，可獲得如下的推論： 推論2-1 四次曲線的正弓形面積為底乘高的倍。 但當固定，而在曲線上的點上下取點，此時在曲線間，以為切點的切線與平行，取代原點；那麼，(1)式中的比值就不再是。例如： (3)得出比值。(4) 得出比值。 由此得知類似拋物線的非正弓形與其最大內接三角形面積比值為固定不復存在了！繼續固定，而取成原點，此時，，得出。以為例，，此一般式對應拋物線的情形，其值為之規律完全符合。於是讓我們臆測出「」是跟四次曲線含原點為端點的非正弓形與其最大內接三角形面積比值之常數倍息息相關；因而再固定，讓由右而左變動，試圖確定出的常數，例如： (5)取，得出，亦得。(6) 取，得出，亦得。 為了以下推論作更精確的描述，我們先給出以下的定義： 定義2.1設為二項式函數(為常數)圖形相同凹向上的任意兩點，為曲線上介於之間的定點，且以為切點的切線與平行，則稱為弓形的底邊，而點到直線的距離為高(此值亦為以為切點的切線與直線兩平行線的距離)。 利用均值定理，我們可以證明定義2.1中的點唯一存在，如下所述。 引理2.1設為次曲線(為常數)上相同凹向的任意兩點，則在上曲線之間，恰有一點使得以為切點的切線與平行。 證明：可設為上相同凹向的任意兩點，並設。當為偶數時，的凹向恆向上()或恆向下()，此時，導函數為嚴格遞增或嚴格遞減，若的斜率為，則必有唯一的實根 ，即滿足引理條件切點顯然存在且唯一。但當為奇數時，原點為的唯一反曲點，故，不妨設，並設為上曲線之間的點，滿足。由的斜率為，得知。由此可推得。因為奇數，上式恰有唯一的正實根，即得滿足引理條件的唯一點。特別地，當取成原點時，，則得到的點坐標為， 以為切點曲線的切線與平行，此時曲線間以為弦的弓形常記成，於是，我們有如下的推論。 推論2.2設為四次曲線完全在對稱軸右方或完全在左方的弓形，其中為原點，則與的面積比值為，即的面積為其底邊長與高乘積的倍。 然而，一旦兩點都在曲線上點的右上方，同樣用GeoGebra軟體計算，其比值竟然不再是了！例如： (7)取，得出，而。(8) 取，得出，而。 上面(7)(8)所得的數據竟然遠離，而跟拋物線弓形的那麼接近，這裡頭可能另有文章，值得再仔細檢驗並試圖找出其原因！暫時擱置此問題，等待先行考慮的情形後，再一併檢驗。 對三次曲線，取所圍成的，其中點的坐標滿足，即以為切點的切線與平行，如圖(4)所示。 ， 而，故 。 類似於圖(4)，考慮一般的點，保留原點，則點的坐標為，如法泡製可得 。 即得的面積為的倍；換言之，我們有如下的推論：推論2.3設為三次曲線完全在對稱點右方或完全在左方的弓形，