复积分的计算方法综述-乐山师范学院.DOC

复积分的计算方法综述 王攀茜 数学与信息科学学院 数学与应用数学【摘要】复变函数的积分是复变函数的重要内容之一。由复变函数的积分而得到的柯西积分定理与柯西积分公式是探讨解析函数相关理论的重要工具。解析函数的许多重要性质都要利用复积分来证明，所以有必要对复积分的计算方法进行探讨。这可以让我们更深刻地理解解析函数的性质。这篇文章就是对复变函数的积分的计算方法进行了归纳、总结，并通过具体的实例说明了这些方法的具体应用技巧。 【关键词】复积分 计算方法 复变函数 0 引言 复积分的计算方法对于解析函数来说是非常重要的内容。它对研究解析函数的局部性质起着关键的作用。对于初学者来说,如果对复变函数的积分的正确处理方法掌握程度不够，就造成对解析函数的相关理论理解不通透，因此探究和分析复积分的计算方法具有一定的意义。 我们常见的求复变函数的方法有很多。例如可以用参数方程法计算复积分，还可以用柯西积分定理和柯西积分公式计算复积分，还可以用柯西留数定理计算复积分。在我们的教材中常看到的也是上述几种方法。对于初学者来说，具体到某一道题中不知道用哪种方法比较妥当，甚至不能融会贯通。下面就针对这些问题做一些简单的归纳、整理。 1 基础知识 定义1.1 假设有曲线: ，把作为这段曲线的起点，把作为这段曲线的终点，沿这段曲线有定义，顺着曲线沿到的方向上在这段曲线上取出分点： 把有向曲线分成多个弧段，由至的每一个弧段上任意取出 （） 而当分点个数是无限增加的，这弧段长度的最大值又趋近于零时，若和数的极限是存在的并且等于，则叫做沿曲线（由至）是可积的，而把叫做沿（由至）的积分，用记号来表示： 叫做这个积分的积分路径。 我们知道若某一个函数在某一闭区域内是处处解析的，则函数沿这闭区域内的任意一条封闭的曲线的积分值都为零，即 推论1 若是一条周线，为的内部，函数在闭域上是解析的，则 下面的定理也是从一个方面推广了的柯西积分定理。 推论2 若是一条周线，为的内部，函数在内解析，在上连续（也可以说“连续到”）,则 注意：对于一个复变函数的积分，首先判断是否在某一区域内解析，一定要在解析的基础上再求积分。 推论3 （牛顿莱布尼兹公式）若在某个单连通域内是处处解析的，为的一个原函数，则对内任意两点有。 定理1.2 若某一区域的边界是周线，而函数在内是处处解析的，并且在上是连续的，则有 也可写成 定理1.3若函数在周线所围成的某一区域内，除在点外是解析的，而在闭区域上除外是连续的，则有 2 复积分的计算方法 2.1 利用参数方程法计算复积分 如果有光滑曲线: ，这就表示在上连续且有不为零的导数,又设沿连续，令,于是 = =， 即=或= 这种方法是从积分路径入手的，称为参数方程法。 例1 计算积分，为直线段0到1+i 解 设参数方程为,故 此题中被积函数在区域内不解析，则与积分路径有关，可用参数方程法解题，即先把积分路径写成,然后由计算右端关于实参数的积分。 例2 计算积分，为圆周上从1到-1的上半圆周。 解 设参数方程为，，故 例3 计算积分其中为：0到的直线段可用参数方程表示为, ∴ 例4 计算积分，:左平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周。 解： 令，，则有， 故 例5 计算积分，路径为直线段 解 设，则 例6 计算的值，其中为抛物线上从0到的一段弧。 解 ，设参数方程为：，其中，所以有 例7 计算积分的值，其中为正向圆周： 解 的参数方程为：，。可得 例8 计算积分，其中为扇形区域的周界。 解 由两段光滑曲线组成：；，起点对应参数。而被积函数在上连续，只要补充定义，利用曲线的参数方程分别计算这两个复积分。 例9 证明。其中积分路径是从连接和的直线段。 证 的参数方程为 也就是 沿，连续，并且有。而的长度是2，由定理可知 2.2 利用柯西积分定理计算复积分 如果把柯西积分定理的条件改变一些在某些情况下还是可以的。例如可以不是简单的闭曲线；也可以是的边界，但要在上也解析；还可以是的边界，在内解析，上连续。但有一点必须满足单连通域是不能发生变化的。例9 计算下列积分： (1); (2) 其中为右半圆周：，,起点为-2i,终点为2i; (3),其中取那支 解 （1）∵的支点为-1，∞，∴它在闭