多面体欧拉定理的发现教学设计教学目标知识目标叙述多面体.DOC

多面体欧拉定理的发现 教学设计（二） 教学目标： 知识目标 叙述多面体及其相关概念。 能力目标 会用欧拉公式解决实际问题。 情感目标 学习本节知识，体会立体几何的美。 教学重点： 欧拉定理的应用。 教学难点： 在具体问题中会利用顶点V、面数F、棱数E的关系互化。 授课类型： 新授课。 课时安排： 1课时。 教具： 多媒体、实物投影仪。 教学设计思路： 本节课主要是巩固上节所学到的知识，教师可以先引导学生对知识进行回顾，再在此基础上学习范例，以加深对知识的理解。 教学过程： 一、复习引入： 1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面。如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。 说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体。 2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数： 正多面体 顶点数 面数 棱数 正四面体 4 4 6 正六面体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 正二十面体 12 20 30 3．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式： ． 4．欧拉示性数：在欧拉公式中令，叫欧拉示性数。 说明：（1）简单多面体的欧拉示性数． （2）带一个洞的多面体的欧拉示性数．例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体。 二、讲解范例： 例1：由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种。 证明：设正多面体的每个面的边数为，每个顶点连有条棱，令这个多面体的面数为，每个面有条边，故共有条边，由于每条边都是两个面的公共边，故多面体棱数（1） 令这个多面体有个顶点，每一个顶点处有条棱，故共有条棱。由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数（2） 由（1）（2）得：，代入欧拉公式：． ∴（3）， ∵又，，但，不能同时大于， （若，，则有，即这是不可能的） ∴，中至少有一个等于．令，则， ∴，∴，∴． 同样若可得． 例2：欧拉定理在研究化学分子结构中的应用： 1996年诺贝尔化学奖授予对发现有重大贡献的三位科学家。是由60个原子构成的分子，它是形如足球的多面体这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算分子中五边形和六边形的数目。 解：设分子中有五边形个，六边形个。 分子这个多面体的顶点数，面数，棱数，由欧拉定理得：（1）， 另一方面棱数可由多边形的边数和来表示，得（2），由（1）（2）得：， ∴分子中五边形有12个，六边形有20个。 例3：一个正多面体各个面的内角和为，求它的面数、顶点数和棱数。 解：由题意设每一个面的边数为,则， ∴， ∵，∴, 将其代入欧拉公式,得,设过每一个顶点的棱数为, 则，得,即（1）, ∵，∴,又， ∴的可能取值为，,, 当或时（1）中无整数解； 当,由（1）得, ∴,∴， 综上可知:，，. 三、小结：欧拉定理的应用；会用欧拉公式解决简单多面体的顶点数、面数和棱数的计算问题。 四、课后作业： ⒈一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有下面的关系：F＝2V－4 证明：∵，V＋F－E＝2 ∴V＋F－＝2∴F＝2V－4 ⒉设一个凸多面体有V个顶点， 求证：它的各面多边形的内角和为（V-2）·360° 解：设此多面体的上底面有V上个顶点，下底面有V下个顶点 将其下底面剪掉，抻成平面图形则 V上·360°＋（V下－2）·180°＋（V下－2）·180° ＝（V上＋V下－2）·360° ＝（V－2）360° ⒊有没有棱数是7的简单多面体？说明理由。 证明：∵V＋F－E＝2，∴V＋F＝7＋2＝9 ∵多面体的顶点数V≥4，面数F≥4 ∴只有两种情况V＝4，F＝5或V＝5，F＝4 但是有4个顶点的多面体只有四个面，不可能是5个面， 有四个面的多面体是四面体，也只有四个顶点，不可能有5个顶点， ∴没有棱数是7的简单多面体 ⒋是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边。 证明：设有一个多面体，有F（奇数）个面，并且每个面的边数 也都是奇数，则 但是上式左端是奇数个“奇数相加”，结果仍为奇数，可右端是偶数，这是不可能的。 ∴不存在这样的多面体 板书设计： 多面体欧拉定理的发现 一、复习 三、小结 二、讲解例题 四、练习 例1 例2 例3