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妙招出手，惊喜连连 ——利用面积关系巧证中学数学中的一些定理 内蒙古巴彦淖尔市杭锦后旗奋斗中学0501班郝伟静 指导老师 张红 在古埃及尼罗河每年泛滥一次，洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界线标志。洪水退后，人们要重新划出田地的界线，这就必须丈量和计算田地的面积。年复一年，就积累了最基本的几何知识。可见，几何学的产生，源于人们对土地面积的测量的需要。与此同时面积可以把抽象的代数关系用具体的图形表示出来，动员了大脑两个半球同时工作，印象深，理解快，记得牢。因此，面积在几何学中占有十分重要的位置。 在此，我发现面积关系在下述几个定理的证明过程中有特殊的妙用。 预备定理1：三角形的面积等于两边与其夹角的正弦值的乘积的一半。 证明：在△ABC中，AD是BC边上的高。 S△ABC=BC·AD=BC·AB· 预备定理2：四边形的面积等于对角线与其夹角的正弦值的乘积的一半。 证明：在四边形ABCD中，设AC与BD的夹角为则SABCD = S△AOB+ S△BOC+ S△COD +S△AOD =OA·OB·+OB·OC·+ OC·OD·+OA·OD· =（OA·OB+OB·OC+OC·OD+OA·OD）· =（OB·AC+OD·AC）· =AC·BD· 下面我们应用以上面积关系即一些基本的几何知识，证明我们学过的几个定理。 应用一、勾股定理的证明 到目前，勾股定理常见的证明方法已有数十种了，但其中最简单的证法仍然是利用面积关系。我们可以构造出不同的图形来证明。 证法一： 如图：四个同样大小的直角三角形的斜边围成一个正方形，它们的直角边围成了一个更大的正方形。 设直角三角形两直角边分别为斜边为c 则大正方形面积 小正方形面积 直角三角形面积S△= 显然有S△ 即 整理得： 证法二：如图：四个同样大小的矩形围成中间的一个小正方形，矩形的4条对角线围成一个大正方形。 则小正方形面积 大正方形面积 三角形面积S△= 显然有△即 整理得： 证法三： 如图，作直角△ABC斜边AB上的高CD，得到三个相似三角形 即△ABC∽△ACD∽△CBD。从而S△ABC：S△ACD：S△CBD=AB2：AC2：BC2 设S△ABC=， 则S△ACD=， S△CBD= 由S△ABC=S△ACD+S△CBD得： 应用二、均值不等式的证明 证法一： 课本中给出了均值不等式的如下代数证法： 证明： 当时，当时， 所以即 证法二： 课本中给出了一种几何解释 以长的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使，，过C作垂直于直径AB的弦′，连接AD，DB。易证Rt△ACD∽Rt△DCB， 那么 即 这个圆的半径为，显然它大于或等于CD，即≥ 当且仅当点C与圆心重合，即时，等号成立。 证法三： 在这里，我认为利用面积关系构造正方形也可以给出另一种几何解释。 如图所示，我们可以得出 由于所以 整理得： 当且仅当时等号成立 应用三、正弦加法定理的证明 证法一： 课本中采用构造单位圆，并利用两点间距离公式的方法证明了余弦加法定理，然后利用诱导公式便证明了正弦加法定理。 证法二： 事实上，还可以利用面积关系，直接证明正弦加法定理。 如图，在△ABC中。过A作AD⊥BC于D， ∠BAD=，∠CAD=，∠BAC=+＜180°， 从图中可得面积关系： S△ABC=S△ABD+S△ACD 即 两边同时除以得： = 证法三： 利用同角正弦、余弦平方和为一构造正方形也可进行证明 如图所示：不难看出图（1）中菱形面积与图（2）中两个矩形面积相等 ∵ ∴ 应用四、正弦减法定理的证明 证法一： 将正弦加法定理中的用代替，就得到 = 证法二： 我们还可以直间构造三角形来证明 如图：在Rt△ABC中，，， 从图中可得面积关系： S△BAD=S△ABC-S△DBC 即 两边同时除以得： = 应用五、正弦倍角公式的证明 证法一： 在正弦加法定理中，令可得 证法二： 如图：在△ABC中，∠BAD=，∠CAD=，AB=AC，则 从面积关系 S△ABC=2S△ABD，得： 两边同时除以得： = 应用六：和差化积公式的证明 证法一： ∵ 令， 则， 把的值代入得： 证法二： 如图：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，∠EAC=，∠BAE=∠CAF=， 从图中可得面积关系 S△ABE+S△ACE=2S△ABD 即= = 两边同时除以得： 应用七：正弦定理的证明 证法一： 课本中采用向量法分锐角、钝角、直角进行证明，这里不再详细说明 证法二： 利用面积公式（预备定理一），我们可得如下