平面向量应试策略——关注点线面三个给力点-浙江嘉兴第一.DOC

寻根探源 构建模式研究解题给力点 平湖市新华爱心高级中学 毛良忠 数学知识的习得必须通过一定量的数学题的训练才能熟练，才能真正内化到自己的内在知识结构中来。但题成河，题成海，如何跳出题海，抓住解题要领，学会解题，享受数学学习乐趣呢？万尔遐先生倡议的寻找“数学题根”——教材深处留心找，找到题根书变薄。考题多，考题新，多新一片像森林。林中切莫眼花乱，认得题根知考根。“题根说”给了我们解决问题的方向和数学探究的着力点所在。本文试从近几年的高考向量问题的解决中寻找题根，进而构建模式研究问题解决的给力点。 平面向量作为新课程数学的一个亮点，她的引入学习很好地沟通了代数和几何的联系。近年来，向量问题在高考中层出不穷,,,其中与的夹角为，与的夹角为，且,,若,则的值为 这是2007年陕西卷第15题。作为新课改刚实施后的高考此题设计新颖，不落俗套，解法多样，能很好地考查不同层次的学生对知识的理解。 常见方法 （1）建系求出A,B,C的坐标，代入比较得出的值 。 （2）在已知 式两边分别点乘，通过建立方程组求解出的值。 （3）过C作OA,OB的平行线，通过解三角形求得。 上面的三种解题策略其实反映了我们解决向量问题的不同视角。方法1我们借助向量的坐标表示这个题根去解决问题 方法2通过寻找向量间的联系求解 方法3借助三角函数这个题根转化为几何图形解决。 在一次习题课上，笔者在点评了学生给出的这三种方法后，有学生提出能不能将A,B,C连结后求解？这个想法说实在笔者的确没有尝试过，课后思考发现这样的想法其实是有效简洁的，并且应该也是自然的。 为了解决这个问题，让我们先来证明下面这个命题：设平面上三点O,A,B不共线，则点C在直线AB上的充要条件是存在唯一一对实数 使得，且=1 （*） 简 证：点C在直线AB上 令 则，且=1 利用这个结论，我们尝试解决上面这个高考题： 如图2 连结AB交OC与D，易得,故，考虑到D,A,B三点共线 由上面的结论（*）知 ，所以。 瞧，利用刚才的结论我们无须太多的叙述和计算，直奔问题结论，使问题圆满解决。事实上如果将此结论作为用向量法证明三点共线的题根，我们就可以快速解决下面的几个问题。 二 题根登场 尽显本色 例1、（2012年杭州市第二次检测）如图所示A,B,C是圆O上的三点， CO 的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若，则的取值范围是（ ）（A） (B) (C) (D) （-1,0） 分析：考虑到C,O,D在同一直线上且C在圆上，D在圆外，可利用题根（*）解决。不妨设（其中，因为，所以，又因为D,A,B三点在同一直线上，所以，因此 选（D）。 例2、（2009年安徽14）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点C在以O为圆心的圆弧AB 上变动，若 ，则实数x+y的最大值为 。 此题解法较多，下面利用题根（*）解决。 连结AB交OC于D,设，由于， 因为D,A,B在同一直线上，所以， 由于，当时t取到最小值，当D与A,或B重合时t取到最大值1，故 例3、（2006年湖南15）如图,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且,则 x的取值范围是 ；当时，y的取值范围是 。 分析：易知第一问中，下面利用题根（*）解决第二问，延长OP交AB于Q，则有 () 所以 A,B,Q三点共线 所以 （0,1） 即，当时，。 例4、 若P是内的一点， , 求的比值。 分析：如图由得，整理得,延长CP交AB于D，则设，由于D,A, B三点共线，于是， ，易得 =. 例5 在中，点O是BC上一点，且,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N，若, 则 分析：由 得,整理得 , 由于M,O,N三点共线 特殊地当O为BC中点时，即当时 。此特殊情形恰好是2007年江西高考卷第15题。 下面我们用这个题根一起来解决一道著名的几何问题： 例6 求证：若的外心O，重心G，垂心H不重合，则这三点共线。（称为欧拉线） 分析：如图延长AO交 的外接圆于E，延长AG交BC于D，连结AH,CH。易知 因此BECH为平行四边形。 由G为三角形的重心得 由题根知O，G，H三点共线。 三 题根衍生 演绎精彩 上面的三点共线这个题根的运用给人解题的享受，一个题根下统一的解题模式竟然解决了众多高考题，不由得让人感叹：题根的挖掘和研究其实真的能起到事半功倍，化腐朽为神奇。 对于上面的题根进一步的思考探究： 1、在同一平面内，已知三点O,A,B不共线，若存在唯一一