数学概念之间的关系.PPT

第一节 形式逻辑与中学数学教学 如何培养学生逻辑思维能力? 二、矛盾律：在同一思维过程中，对同一个对象所作的两个互相对立或矛盾的判断不能同真，至少必有一假，即对同一对象既肯定它是甲，又否定它不是甲。公式：“甲不是非甲”。 三、排中律： 四、充足理由律： 第三节 数学概念 一、数学概念的意义与结构 ? 通过概念的划分，可以使有关的概念系统化，同时也使被划分概念的外延更清楚、更深刻、更具体。 (3)外延定义。就是揭示外延，用并列的几个种概念给属概念下定义的方法。 例如，有理数和无理数统称为实数。 (4)关系定义方式。就是以被定义概念所反映的对象之间的关 系作为种差下定义的方式。 例如，大于直角而小于平角的角叫做钝角； (5)语词定义方式。就是用语词说明被定义项概念的含义的方式。 在中学数学中的一些符号定义，如 “ ? ”表示空集；“ N,Z,R,C ”分别表示自然数集，整数集、实数集、复数集等；“∑”表示和，“≌”表示全等。 规则1 定义要相称。即被定义的概念和定义的概念应当有相同的外延，不应扩大，也不应缩小，因而两者可以互换位置。 3．下定义应遵循的规则 例如，“直径是弦” 不相称 被定义概念 定义的概念外延大 “弦是直径”显然是荒谬的 直径(被定义的概念)是通过圆心的弦(定义的概念) 通过圆心的弦是直径 直径可以这样定义 规则2 定义不能循环 例如:加法是求若干个数的和的方法 直角就是含有90度的角 即定义项中不能直接或间接地包含被定义项。否则，就会犯循环定义的错误。 例如“互质数就是互为质数的数”，“直线就是笔直的线” 规则3 定义应当确切、简明、完整。 例如“圆内接多边形就是顶点在圆周上的多边形”，这样定义圆内接多边形是不确切的，因为它既没有指明是多边形各个顶点在圆周上，也没有指明是在同一个圆周上； “简明”是指定义中既不能包括互相推出的本质属性，也不能有多余的词语。 例如“两组对边分别平行且相等的平面四边形叫做平行四边形”， 这样定义平行四边形是不简明的，定义中的本质属性“两组对边分别平行”与“两组对边分别相等”是可互相推出的，应去掉一个；另外，定义中的“平面”二字也是多余的，也应去掉； “完整”是指不能漏掉必须的条件。 例如“有一条公共边的两个角简称为邻角”。 这样定义邻角是不完整的，因为邻角的定义包含三个必须的条件:“公共顶点”、“有一条公共边”、“其它两边在公共边两侧”。显然在这个定义中漏掉了两个必须条件。 例如，“合数不是质数”.“不能表示成分数的实数叫做无理数”， 但这个要求也不是绝对的，有某些事物的本质属性就是揭示它缺乏某种特性，例如，“同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线”。 规则4 定义一般不用否定形式 原始概念又称为原名，是数学中的无定义概念，给概念下定义时，定义项必须选用已被定义过的概念，这样顺次上溯，终必出现不能用前述方式定义的概念，这样的概念就是原始概念。原始概念虽不能再用更大的原概念定义，但却是定义其它概念的基础。在数学中，“点”、‘线”、“面”、“体”、“集合”等都是原始概念，在教材中对它们都作了一定的解释、描述，但都不是定义。 4．原始概念 哲学中的范畴 概念的划分(分类)是揭示概念外延的逻辑方法，也就是将一个属概念根据一定的属性(或)标准划分为若干个外延不相重合的种概念以达到明确概念的目的。 四、概念的划分（分类） “城市” 母项就是被划分的属概念，子项就是划分后所得的种概念，根据就是划分时所依据的那个属性(标准)。 例如，根据“角的大小”这一属性，把“三角形”这个种概念，分成： 母项、子项和根据 1．划分的三要素 根据“边的大小”，“三角形”又可划分为： 即每次划分后得的各子项外延的总和必须等于母项的外延。例如，将自然数划分为质数与合数，这个划分是不相称的，因为质数与合数的外延之和小于自然数的外延。 2．划分的规则 规则1 划分应当是相称的 不正确 规则2 子项必须不兼容 即划分后的各子项之间不能兼容，母项的每一个子项都应落到一个且只一个子项上，否则会出现部分重合，使划分的结果不明确。 即同一次划分不能交替使用两种或两种以上的标准，否则会造成划分的混乱，甚至错误。 规则3 每次划分只能用一个根据 例如把三角形分为不等边的、等腰的、等边的合直角三角形 规则4 划分不能越级 即每个层次的划分中，母项与子项之间必须有最邻近的属种关系，不得越级或跳跃式的划分。例如把实数划分为整数、分数和有理数就犯了越级划分的错误。 ? 有一种常用的分类方法，即二肢分类法，简称为二分法，就是将被分概念一贯地分成两个矛盾概念，一直到不能再分为止。 第七章 数学的逻辑基础 第 一 节 形式 逻辑 与 中学