第03章 自激振动.ppt

第三章 自激振动 自激振动与周期激励的响应相比，仍然是一种周期振动，它也是靠外界能源的驱动形成的，不同的是现在的能源是一个能量不变的能源，能源本身不直接给系统提供周期性变化的能量，系统振动能量的周期性变化是靠系统固有的某种自动调节机制、周期性地向能源和环境吞吐能量形成的。 当然，振动系统周期性地向能源吸收能量而能源的能量保持不变，这只能在能源的能量大大超过振动能量的前提下才能近似实现，这是自激振动系统的另一个特征。 自激振动系统（self-excited system）也称为自振系统,它的特性很复杂。本章只学习单自由度系统自激振动的形成和演变的一些基本规律。 §3.1 自激振动的机理和特征 1. 自激振动的机理  §3.2 极限环与 van der Pol 方程 1. 极限环 §3.3 工程中的自激振动问题 1. 时钟原理 2. 干摩擦自振 3. 管内流体喘振 §3.4 张驰振动 §3.5 动态分岔 * 第三章 自激振动 §3.1 自激振动的机理和特征 §3.2 极限环与 van der Pol 方程 §3.3 工程中的自激振动问题 §3.4 张驰振动 §3.5 动态分岔 图3.1、图3.2为两个自振系统的实例。就电铃而言，能源为直流电源，在一定时期内，能量近似恒定，接通电源后，铃锤在电磁吸力作用下，弯曲敲击铜铃，同时电路触点断开，电磁吸力消失；在这个过程中，振系从能源吸收 图3.1 图3.2 电能，一部分转化为铃锤的动能和弹性势能，另一部分由于材料阻尼、敲击等因素而耗散。接下来的过程是，弹性势能使铃锤恢复形状，使电源再次接通，完成一次振动，并开始下一次振动。 可见，自激振动的形成过程和机理是：振系在某些初始激励下能作往复运动，同时振系内有一个固有的自动调节环节起作用，它能自动感知振系状态，根据振系状态自动调节 能量的吸收，并能使振系在每个往复运动中吸收的能量逐渐等于耗散的能量，从而使振系的能量和状态周期性变化，即形成自激振动。自激振动的形成机理，可用框图表示，如图3.3。 振动系统 调节器 能源 状态反馈 图3.3 需要指出的是，图中的调节器就是前述的自动调节环节，对于某些振系，调节器是一个实际存在的装置，如电铃，其调节器为电磁断续器，而对很多振系，调节器并不是一个明确的装置，而是系统自身的特性和参数综合形成的一个自动控制环节。 2. 自激振动的特征 参见课本p57的总结。  从以上定性分析已知，自激振动是周期振动，因此对单自由度系统，自激振动的相轨迹是一条封闭曲线，与保守系统的自由振动相轨迹不同的是，自激振动的封闭相轨迹的形状和运动周期，是由系统的固有参数和特性决定的，而与初始条件无关。因此，自激振动的封闭相轨迹在相平面上是一条孤立的封闭曲线。在这条封闭曲线邻近的相点，将沿某一螺旋状相轨迹趋近或离开这条封闭曲线，因此称它为极限环(limit cycle)。一个振系的极限环可能不止一个，当极限环邻近的相轨迹都趋近于极限环时，该极限环是稳定的，否则，是不稳定的，如图3.4。只有稳定的极限环才对应于能够实现的自激振动，因此寻求极限环并确定其稳定性，是非线性自治系统研究中的一个最重要的问题。  van der Pol 振荡器是已知存在极限环的系统的一个经典例子。 van der Pol 方程也可以由Rayleigh方程经变换得到，Rayleigh方程为 2. van der Pol 方程 图3.4 (3.2) 这就是van der Pol 方程。对（3.2）作能量积分得 (3.1) （3.1）式对 t 求导，得 E为积分常数。当x 的幅值较小时，上式右端第二项圆括号中的值大于零，积分值随时间增长而增大，系统的机械能增大，即系统向外界吸收能量，同时使系统的运动幅度增大，这一过程一直到积分的平均值为零才停止。当x 的幅值较大，上式右端第二项圆括号中的值小于零时，系统将耗散能量，同时使系统的运动幅度减小。因此预计系统最后可能会稳定在某个周期运动状态，即自振状态。 方程（3.2）的第二项与速度有关，相当于一个阻尼项，由上述分析知，它不是常规阻尼，而是一个交变阻尼，耗散能量时，称为正阻尼，吸收能量时称为负阻尼。 下面用相平面法来确定其极限环。不失一般性，设Rayleigh方程（3.1）中 ，d = 1，相轨迹微分方程为 显然，原点是系统唯一的奇点。用Lienard方法作相轨迹， Lienard辅助曲线为 (3.3) 它也恰好是通过原点的零斜率等倾线，图3.5中的虚线。稍加考察可知，奇点附近的相轨迹是向外发散的，因此奇点为不稳定焦点。最后作出的相轨迹如图3.5。 也可用谐波平衡法来求出van der Pol 方程的近似解