第12.2节 一阶常系数线性差分方程.ppt

例题库 第12.2节 一阶常系数线性差分方程 一、一阶常系数齐次线性差分方程的通解 二、一阶常系数非齐次线性差分方程的通解 一阶常系数线性差分方程的一般形式为 (1) 其中a 为非零常数，f(t )为已知函数．此方程对应的齐次方程为 (2) 由常系数线性差分方程通解结构定理知，一阶常系数非齐次线性差分方程的通解是由该方程的一个特解以及相应齐次方程通解的和构成. 一、一阶常系数齐次线性差分方程的通解 将方程(2)改写为 假设在初始时刻时函数的取值为任意常数，即 ， 则通过逐次迭代可得 由此归纳可得齐次方程(2)的通解为 (3) 例1 求方程 的通解以及满足初始条件 的特解． （C为任意常数） 由 得 因此所求的特解为 解 将此方程变形为 ，因此 ，由公式(3)知原方程的通解为 第1步 求相应齐次线性方程(2)的通解 第2步 求非齐次线性方程(1)的一个特解 第3步 写出非齐次线性方程(1)的通解 上面已经讨论了齐次线性差分方程(2)通解 的具体求法，下面进一步讨论如何寻找非齐次线性方程(1)的一个特解 ． 二、一阶常系数非齐次线性差分方程的通解 非齐次方程(1)的特解的求法： (1)迭代法 将方程(1)变形为 假设在初始时刻函数的取值为0，即 ，则有 一般地，由数学归纳法可证得 (4) 为非齐次方程 的一个特解，因此其通解为 （C为任意常数）． 例2 求差分方程 的通解． 解 由于 ，因此齐次方程 的通解为 （ 为任意常数） 由(4)可求得非齐次方程的一特解为 因此原方程的通解为 其中 为任意常数． 事实上，迭代法提供了一种应用计算机软件通过编程求解一阶非齐次线性差分方程特解的算法，而且对非齐次项 f (t)的函数类型没有任何限制性的要求．但如果要求出一阶非齐次线性差分方程特解的解析表达式，针对某些特定形式的函数 f (t)，用迭代法求其特解就很不方便，计算非常复杂，因此下面进一步介绍另一种简便、有效的求特解方法——待定系数法． 下面就函数为多项式、指数函数、正弦、余弦函数等不同 情况，分别讨论求方程的特解的具体方法． 情形1 为 t 的多项式函数 设 为关于t的 m 次多项式，则方程(2)相应地变为 (5) （2）待定系数法 上式等价于 （ ）. 假如 是它的解，代入上式得 (6) 如果 可以为多项式，那么 就是比 低一次的多项式，因此可设特解的待定式为 . ( ) ? í ì - = + + + - 1 + + + = 1 1 ) ( ~ 1 0 1 0 a t B t B B t a t B t B B t y m m m m L L 例3 求差分方程 的通解． 解 首先可求得齐次方程 的通解为 （C为任意常数）． 又由于 ，因此可设非齐次方程特解的待定式为 ，代入原方程，得 即 ，故 为原方程的一个特解． 因此原方程的通解为 例4 求差分方程 的通解． 解 首先可求得齐次方程 的通解为 （C为任意常数）. 由于 ，因此可设非齐次方程特解为 代入原方程，得 比较两端多项式的系数，有 因此可求得原方程的一个特解为 故原方程的通解为 (C为任意常数). 情形2 为指数函数 设 ，其中b、d为非零的常数，且d≠1,这时方程(1)相应地变为 . 假如此方程具有指数形式的特解 ，代入原方程得 因此可设特解的待定式为 . 例5 利用待定系数法求例2的通解． 解 首先可求得齐次方程 的通解为 （C为任意常数）； 因为 ，所以设特解的待定式为 ， 代入原方程得 解得 则原方