第3章 离散系统状态空间分析.ppt

设T=1秒，则得到 于是，得到离散化状态空间方程为 3.3 计算机控制系统的闭环离散状态方程 由于计算机控制系统实质上是离散系统，下面以一个离散系统个计算机控制系统为例，介绍闭环离散状态方程的列写。 例3.8 试列写图3.8离散系统的闭环离散状态方程。 T r(t) e(t) u(t) y(t) ZOH K 图3.8 例3.8的离散系统 解：对于给定的连续控制对象的传递函数所对应的连续状态方程和输出方程为 由于控制对象的输入信号是零阶保持器的输出信号u(t)，它是阶梯形分段常值的连续函数，因此，可用上节的方法求连续部分的离散化状态方程。求得系数矩阵为 于是，得到连续部分的离散化状态方程为 式中考虑了在一个采样周期T内，零阶保持器的输出u(t)的值恒定不变，且等于采样周期T的时间区间的开始瞬时的e(kT)的值。 将e(kT)=r(kT)-y(kT)和y(kT)=x1(kT)代入上式，便可得到闭环离散状态方程为 其输出方程为 例3.9 试列写图3.9离散系统的闭环离散状态方程。 T r(t) e(t) u(t) y(t) T u(kT) ZOH k1s 图3.9 例3.9的离散系统 k2 解：先求数字控制器的状态方程。用直接程序法得 设数字控制器的状态变量为x3(kT)，则可求得其状态方程为： 数字控制器的输出方程为： 再求连续部分的状态方程，即求零阶保持器与控制对象串联的离散化状态方程。得到 由于u(kT)是分段常值函数，故可用上节的方法求得上式的离散化状态方程和输出方程为 为了书写简单起见，可以表示为 其中 则可得到闭环离散状态方程为 3.4 离散系统的传递函数矩阵与特征值 设线性定常离散系统状态方程和输出方程的一般形式为 式中x(k)为n维状态向量，u(k)为m维控制向量，y(k)为p维输出向量，系数矩阵A，B，C，D分别为n?n，n?m，p?n和p?m矩阵。设初始状态x(0)=0，对上式取Z变换，得到 采用如下记号 则称矩阵Gx(z)为输入——状态传递函数矩阵，矩阵Gy(z)为输入——输出传递函数矩阵，而方程det(zI-A)=0称为离散系统的特征方程。特征方程的根即为特征值也为系统的极点。 例3.10 设已知离散系统的状态空间表达式为 试求Z传递函数 。 解：由已知条件得到系数矩阵分别为 可以求得逆矩阵为 本例为单输入单输出离散系统，因此，输出与输入之间的Z传递函数矩阵就是通常的Z传递函数，是标量函数而不是函数矩阵。其传递函数求得如下 例3.11 设已知离散系统的状态空间方程为 试求Z传递函数矩阵 解：由已知条件得到系数矩阵分别为 可以求得逆矩阵为 于是，得到Z传递函数矩阵G(z)为 3.5离散状态方程的求解  3.5.1 递推法 设线性定常离散状态空间方程的一般形式为 式中x(k)为n维状态向量，u(k)为m维控制向量，y(k)为p维输出向量，系数矩阵A，B，C，D分别为n?n，n?m，p?n和p?m矩阵。在状态方程中，设给定初始条件为x(0)和u(0)，给定u(k)则依次取k=0,1,2,…,便可用递推法得到 或表示成 或 由上式可见，由状态方程的解所表达的状态轨迹是离散轨迹，由初始状态和输入控制作用两部分所引起的状态转移而构成。在第k时刻的状态只由k时刻以前的输入决定，而与第k时刻及其后的输入无关，这正是物理可实现的基本条件。 在上式中，若用记号 表示的矩阵称为离散状态转移矩阵，且有 成立，则上式可表示为 或 将上式代入输出方程，得到 或 例3.12 试用递推法求例3.9的闭环离散状态方程的解，设k=1，T=1秒，x1(0)=x2(0)=0，r(kT)=1。 解：该闭环离散状态方程和输出方程为 根据给定的x1(0)=x2(0)=0，和r(kT)=1，令k=0,1,2,…,对状态方程进行迭代求解，则可得到 于是，根据输出方程，便可得到 3.5.2 Z变换法 将离散状态方程 两边取Z变换，得 两边取Z反变换得 则应有 例3.13 试用Z变换法求如下状态方程的解 设 解： 于是可以算出 解得 3.6 线性离散系统的稳定性、可控性和可测性 在自动控制系统中，被控对象是由控制器发出的控